SURFACES RÉGLÉES, DÉVELOPPABLES ; CÔNES ET CYLINDRES
où les lettres accentuées désignent des dérivées par rapport à e. En remplaçant x\ r. z par les expressions (i) et ajoutant à la première colonne la deuxième multipliée par //. celte équation devient
( 3 ) I X-a a «'+ ua' \\ = o.
368. Étude des plans tangents. — Pour poursuivre commodément l'élude des propriétés spéciales dont jouit une surface réglée le long d'une génératrice particulière G0, nous allons prendre des axes particuliers.
Commençons par choisir G0 comme axe des -. I origine O correspondant à u = o. Prenons ensuite Or parallèle à la tangente à l'indicatrice ( ' i au point g0 homologue de G0, et Ox perpendiculaire au plan zOy. Nous supposerons enfin que le paramètre c. dont la signi- Gcation a été laissée, jusqu'à présent, complètement arbitraire, représente l'arc «le l'indicatrice, celle-ci étant supposée orientée dans un sens tel que la demi-tangente positive en ga ait, non seulement la direction, mais aussi le sens de Or. Nous prendrons, en outre, g0 pour origine des arcs, de sorte que P est nul pour G0.
Ces diverses hypothèses se traduisent analytiquement par les conditions suivantes :
(4) • «o= fo= Yo= «o= à0=o, c0=i;
L'équation i 3 I se réduit alors à (6; X' .':.,— u) — at',Y = o.
En choisissant convenablement l'origine des a qui, jusqu'à présent,
est arbitraire sur chaque génératrice, nous pouvons encore supposer
et notre équation devient
(8) itX — a'0Y = o.
Commençons par nous débarrasser d'un cas particulier, celui de a'0= o. Dans cette hypothèse, l'équation i 8 | s,, réduit à X = o;
(') Cette tangente est perpendiculaire à O g0, donc à G„. puisque l'indicatrice est tracée sur une sphère de centre O.
donc le plan tangent est le même tout le long de la génératrice; c'est le plan des yz. A L'origine, on a u = o, L'équation (8) se réduit à une identité; donc, le plan tangent en ( ) est indéterminé. Lorsque la condition actuellement envisagée est remplie par toutes les génératrices de la surface, on dit que celle-ci est développable (cf. n°372 >.
Ce cas exceptionnel étant mis de côté, l'équation (8) nous montre que le plan tangent en M est un plan passant par O z. et réciproquement tout plan II contenant Oz est langent en un point de cette droite.
Il y a correspondance homographique entre M et 11 ( n° 146), car l'équation i 8 > est linéaire en u ('). On peut donc dire que les plans tangents dune surface réglée le long d'une génératrice définissent une corrélation (n° 146) et Ton peut appliquer au cas actuel toutes les définitions et propriétés données au n° 1 46.
En particulier, le plan asymptote est le plan tangent au point à l'infini; il conserve donc sa signification habituelle (n°240). Avec les axes ci-dessus, c'est le plan des yz (-).
Le plan central est ;0.r et le point central est O. Si Ton introduit l'angle » de zOx avec le plan langent en M. l'équation (8 I s'écrit
(9) ÔM=* tango,
en posant
(io) <=/>-•
On retrouve La formule de Chastes et le paramètre de distribution. Celui-ci indique la rapidité et le sens de la rotation du plan tangent, quand M décrit Oz.
Le théorème démontré à la fin du n° 146 nous donne le suivant :
Théorème. — Deux surfaces réglées ayant une génératrice commune se raccordent généralement en deux points de celte
(') Cela se voit tout aussi bien sur l'équation (3).
(J) On pouvait le prévoir géométriquement. Le plan asymptote est parallèle ai plan tangent au cùne directeur, car les deux plans ont en commun la tangente à \i trace commune des deux surfaces sur le plan de l'infini. D'autre part. Or étant parai lôle à la tangente à l'indicatrice, zQ y est tangent au cône directeur: c'est donc le plan asymptote.
SURFACES RÉGLÉES, DÉVELOPPABLES | CONES ET CYLINDRES. 389
génératrice. Si elles se raccordent en plus de deux points, elles se raccordent tout du long de la génératrice.
369. Nous venons de voir que les plans tangents d'une surface réglée S non développable sont les plans qui passent par ses génératrices. Cette propriété apporte généralement de grandes simplifications dans la résolution des problèmes qu'on peut se poser sur ces plans, particulièrement en Géométrie descriptive.
Par exemple, si l'on cherche les plans tangents issus d'un point P, il suffit de considérer tous les plans (P, G) ; chacun d'eux est tangent en un point M de G, qui, lorsque G varie, décrit la courbe de contact de S avec le cône circonscrit de sommet P, ou encore la courbe d'ombre propre de la surface S éclairée par P (t. III). ou enfin la courbe de contour apparent de la surface S vue de P. Si l'on coupe le cône ci-dessus par un plan Q quelconque, on voit aussi que le contour apparent sur ce plan est l'enveloppe des projections des génératrices à partir de P. Ceci s'applique, en particulier, dans le cas dune projection orthogonale.
370. Génératrices infiniment voisines. — Le point central, le plan central et le paramètre de distribution ont une autre signification, qui se présente dans la considération de deux génératrices infiniment voisines.
Considérons la génératrice G, dont le paramètre v est infiniment petit. Si l'on développe a, ji, y, a, b, c par la formule de Taylor, en tenant compte de (4), (5), (7), (10). et se bornant aux termes du premier degré en t\ on a
a = Âv, [3 = o, y = y'0e; a = o, b = v, c = 1 .
Les équations de G sont donc, en négligeant les puissances de v supérieures à la première,
(11) x = kv, y = uv, z = y'0 v -4- u.
Cherchons la perpendiculaire commune à G0et G. Elle est parallèle à O x (') et a pour équations
(12) JK = o, s = Y>.
(') Car G, comme G0, est perpendiculaire à Ox, ainsi que le montre la première équation (11), qui ne contient pas u. Géométriquement, cela tient à ce que Gx est perpendiculaire au plan tangent au cône directeur, lequel plan est parallèle aux deux génératrices infiniment voisines.
3gO CHAPITRE XXVI.
La plus courte distance P0P a pour mesure algébrique, suivant Or, (i3) ÏVP = /v.
Lorsque v tend vers zéro, la seconde formule (12) montre que P0 tend
vers < >. D'autre part, le rapport tend vers A", d'après (i3). Si l'on se souvient que v désigne l'arc d'indicatrice et, par suite, l'angle infiniment petit de G0 et de G, on peut énoncer le théorème suivant :
TuÉORÈME. — Si Von considère la perpendiculaire commune PoP aux deux génératrices infiniment voisines G0 et G, et si l'on suppose que G tende vers G0 :
1* Le pied P0 tend vers le point central; ■i° Le plan G„ P0 P tend, vers le plan central;
3" Z,e rapport de P0P à l'angle des deux génératrices tend vers le paramètre de distribution.
M[. Ligne de striction. — Les propriétés que nous venons de trouver ont lieu pour chaque génératrice. En particulier, sur chaque génératrice, il y a un point central. Le lieu de ce point central se nomme ligne de striction.
Pour en trouver les équations paramétriques, à partir des équations (1), on peut procéder comme il suit. On forme l'équation (3) du plan tangent. En annulant le coefficient de a, on obtient l'équation du plan asymptote, l'n exprimant ensuite que ce plan asymptote est perpendiculaire au plan (3), on obtient une équation du premier degré en u, qui donne la valeur de u correspondant au point central. Ln portant cette valeur dans (1), on obtient, en fonction de v, les équations paramétriques de la ligne de striction.
372. Surfaces développables. — Nous avons vu. au n° 368, que, dans certains cas. le plat} langent est le même tout le long de la génératrice et nous avons dit que. lorsque ceci a lieu pour toutes les génératrices, la surface es! développable.
Il est facile, au moyen de l'équation (3), de trouver la condition analytique correspondante. Il suffit d'exprimer que les deux plans qui correspondent à a = <> et à u — x coïncident. Gomme ils ont déjà en commun la génératrice G, il suffit d'exprimer qu'ils ont en commun unpoini quelconque en dehors de G, par exemple le point à l'infini dans la direction o(a\ b\ c). qui appartient au plan asymptote (' ).
(') Ce raisonnement est en défaut si a', b', c' sont proportionnels à a, b, c, car Z et G se confondent. Mais, le coefficient de u dans (3) est nul, co unie a\anl deux colonnes proportionnelles. La condition (i4) est donc toujours valable.
