SURFACES RÉGLÉES, DÉ\'ELOI>PABLES ; CONES ET CYLINDRES. 3<)I

( .«la donne la condition

04) Il a' a %' || = o.

Cet if condition doit être satisfaite identiquement } quel que soit v.

Lorsqu'une surface est développante, son plan tangent ne dépend que d'un paramètre. Réciproquement, toute enveloppe d'une famille de plans à un paramètre est une surface développable, car chaque plan de la famille touche l'enveloppe le long d'une droite (n°281).

On a vu, au n° !289, que les génératrices d'une surface déveloi pable ont une enveloppe appelée arête de rebroussement. Récipra^ quement\ les tangentes à une courbe quelconque engendrent une surface développable.

En effet, si, dans les équations (i), le point (a, [j, y) est pris au point de contact, a, ù, c sont proportionnels à oc', Jj', y et le déterminant (i4) est nul, comme avant ses deux dernières colonnes proportionnelles.

D'ailleurs, on peut chercher directement la condition nécessaire et suffisante pour que la droite (i) admette une enveloppe (cf. n° 290). Il faut et il suffit que l'on puisse déterminer u fonction de <>, de telle manière que l'on ait

x' y' z' abc

les accents indiquant une dérivation par rapport à V. Or. ceci s'écrit

a' -h ita -f- au 6'— ub' -v- bu y' -+- uc' -+■ eu!

abc

ou. en retranchant u' de chaque membre,'

a' -h ua' (3'

tb'

Afin de ne pas détruire la symétrie, introduisons, comme inconnue auxiliaire, la valeur p des trois rapports; nous avons alors les trois équations

%'-+- lia — :« = o, (l5) (3' -f- ub' — p6 = o,

' y'-+- uc' — pc = o.

La condition de compatibilité n'est autre que (i4).

3ç)» CHAPITRE XXVI.

Si elle est satisfaite, pour avoir u dans l'hypothèse où a, b, c sont des rosinus directeurs, c'est-à-dire sont liés par (2), il suffit de multiplier la première équation par a', la seconde par b' , la troisième par c' et d'ajouter; il vient

En portant dans (1), on obtient les coordonnées du point de contact ou, si l'on veut, les équations paramétriques de l'enveloppe.

373. On peut se demander ce que devient la ligne de striction dans le cas particulier actuel. Il est facile de voir que ce n'est autre que l'arête de rebroussement. En effet ('), supposant que le point (2, [5, y) est le point de contact, on a identiquement

(17) a = Xa', b — 1^,', c =!"(',

X étant un certain facteur de proportionnalité. Les hypothèses (4) entraînent alors a'0 = j3'0 = o, donc, en particulier, (7), ce qui est la condition pour que O soit le point central. De plus, d'après (10), nous voyons que le paramètre de distribution est nul.

374. Lignes asymptotiques d'une surface réglée. —Les génératrices d'une surface réglée sont des tangentes asymptotiques en chacun de leurs points, puisqu'elles ont un rayon de courbure infini (n° 336). Ce sont donc des lignes asymptotiques (n° 345).

Si la surface est développable, il n'y en a pas d'autres, car les tangentes asymptotiques en chaque point d'une telle surface sont confondues, comme on le voit en coupant par le plan tangent et appliquant le théorème du n° 342.

Si la surface n'est pas développable, il y a une seconde famille de lignes asymptotiques. On démontre qu'elle est déterminée par une équation de Riccati (t. I, Note III; cf. Exercice proposé n° 8 du présent Chapitre).

375. Surfaces coniques. — On appelle surface conique ou cône toute surface engendrée par une droite passant par un point fixe, lequel est appelé sommet.

Les équations (1) représentent un cône si le point (a, (3, y) est fixe, c'est-à-dire si y.. (3, v sont des constantes.

Dans ce cas, l'équation (i4) est évidemment vérifiée, puisque

< ' ; Géométriquement, on peut remarquer que le point de contact est le point de rencontre de deux tangentes infiniment voisines. D'une façon plus précise, ceci veut dire que c'est le pied de la perpendiculaire commune, laquelle a une longueur infiniment petite du troisième <>rdre (n° 331).

SURFACES RÉGLÉES, DÉ VELOPPABLES ; CÔNES ET CYLINDRES. 3g3

«'== P'=y'=o. Donc, toute surface conique est une suif ace développable.

L'arête de rebroussement, enveloppe des génératrices, se réduit à un point, sommet du cône.

Pour avoir l'équation ponctuelle du cône défini par les équations (i), où l'on suppose a, (5, y constants, il faut éliminer //. v entre ces équations ou bien v entre

Comme celles-ci ne changent pas quand on multiplier — a, y — Jïi, s v par un facteur arbitraire X, il en est de même du résultat de l'élimination. Autrement dit. tout cône de sommet | a. (3, y | <i une équation ponctuelle homogène en x — a, r — ■ B, c — y.

Réciproquement, soit l'équation homogène

En divisant par une puissance convenable de r — y, on obtient

(t. I, n° 133) une équation en -, -^- — — ■ On peut donc exprimer

ces deux rapports en fonction d'un paramètre r. ce qui conduit à des équations de la forme (18). Donc, l'équation | ig 1 représente un cône de sommet (a. ri. y |.

Dans le cas particulier où a = [5 = y==o, L'équation (19) esd homogène en / , r, ;; <?//e représente un cône de sommet à l'origine {cf. n° 77).

On généralise quelquefois l'équation (19) de la manière suivante. Le sommet S du cône peut être défini par 1 intersection de trois plans

Toute droite (i passant par ce point a des équations de la forme

(21) P = ÀR, Q = ;jlR.

a et a désignant deux paramètres constants. Pour que cette droite engendre une surface, il faut et il suffit que X el u, soient liés par une relation

< 22 I /' À. <ju = o.

L'équation de cette surface s'obtient en éliminant X, u, entre (2r)

>9 i CHAPITRE XXVI.

.1 ! - ') . ce qui donne

c est-à-dire une équation homogène en P, Q, 1».

Réciproquement, toute équation de cette forme peut être obtenue par une élimination analogue à la précédente. Donc, pour qu'une surfate suit un cône ayant pour sommet le point commun aux trois plans | 20), il faut et il suffit que son équation puisse se mettre sous la forme d'une équation homogène en 1*. Q, l>.

En coordonnées tangentielles, un cône, comme toute surface développable [iï' 303), possède deux équations : l'une d'elles est Véquation tangentielle du sommet {cf. n° 303).

376. On définil quelquefois un cône par son sommet S el une courbe (C), appelée direct lice, sur laquelle doivent s'appuyer toutes les génératrices.

Pour former L'équation d'un tel cône, on peut procéder de la manière SUN anle.

On part des coordonnées (#, y, z) d'un point quelconque M de I espace cl l'on exprime que la droite M S rencontre la courbe (C)7 problème qu'on sait résoudre (n° 54).

Dans le cas où S est à l'origine, il suffit d'éliminer la variable d'homogénéité entre les deux équations de (C) {cf. n° 78) (1).

On peut aussi définir un cône par la condition que ses génératrices soient tangentes à nue surface donnée (S); on dit alors que le cône est circonscrit éx cette surface. L'équation d'un tel cône peut se former comme ci-dessus, mais en exprimant, cette fois, que la droite MS esl tangente à 1 I >.

En coordonnées tangentielles, le cône est représenté par l'équation de son sommet et par l'équation tangentielle de la directrice (C) ou de la >urface (2) {cf. n° 303).

377. Si un cône (. de sommet à l'origine a pour équation ponctuelle

( ') <>ette règle s'applique plus généralement, en coordonnées tétraédriques, quand S est le sommet du tétraèdre de référence opposé à la face t = o.

SURFACES RÉGLÉES, DÉVEL0PPABLB8 ; CÔNB8 ET CYLINDRES. 3g5

le plan tangenl I' au poinl M ('./'. i . z i ;i pour équation

La fonction y étant homogène, on vérifie que ce plan demeure fixe quand M décrit une génératrice I >< «. car r. r. s varient proportionnellement et, par suite, aussi les fonctions homogènes f'xi fi , f't .

Si l'on cDiisidrif j\ )-, c cniiiinr l«> coordonnées homogènt - d'un point /// dans h 1 1 plan, l'équation (24) définit une courbe c «l«- ce plan el l'équation (20 » la tangente nii en /// à cette courbe. Si l'on considère l'équation tangent telle

( iC) 1 tp(w, t>, «i' 1 = o

de c, on peut 1 interpréter comme étant la condition pour que le plan (m, r, iv, o) qui passe à l'origine soil tangenl au cône C. C'est donc la seconde équation tangentielle de ce dernier, la première étant /• = o.

Réciproquement, si l'on connaîl cette seconde équation tangentielle, on peut la considérer comme l'équation tangentielle de La courbée et, par conséquent, remonter à l'équation ponctuelle 1 par la règle habituelle <lu n" i2i)l{. En particulier, les coordonnées d'un point quelconque de la génératrice de contact du plan (a, r. ir. m sont proportionnelles à o„, -s[.. o'w (n° 294); ces quantités peuvent donc être prises comme paramètres directeurs de ladite génératrice.

D'une manière générale, lu Qéométrie analytique des cônes de sommet (). est identique à la Géométrie 'analytique des courbes planes (*).

o7N. Cônes supplémentaires. On appelle cône supplémentaire du cône <1 le cône C lieu des perpendiculaires menées pur O aux pin 11 s tangents P.

Les coordonnées ./•. r. •: d'un point quelconque de la perpendiculaire OG' au plan l'i//. c ir, o» étant proportionnelles à u. r, o.

'•n peut d'ailleurs, si l'on veut, considérer la courbe c comme étant la trace <lu cône C sur le plan de l'infini, m étant la trace de 0<1 et ml la irace du plan tangent P.

3g6 CHAPITRE XXVI.

l'équation ponctuelle du cône C est

Par suite, son équation tangentielle esl

en vertu du principe de dualité en Géométrie plane (n° 297). Donc, C est aussi supplémentaire de C et l'on peut dire que la relation entre les deux cônes est réciproque; chacun deux est supplémentaire de /'autre, le plan tangent le long de G' étant perpendiculaire à G, si G' est perpendiculaire au plan tangent le long de G (*).

379. Cônes algébriques. — Lorsque la directrice (G) ou la surface inscrite (2) du n° 376 sont algébriques, le cône t'est aussi, car son équation ponctuelle est obtenue par des calculs uniquement algébriques.

Cette condition suffisante n'est évidemment pas nécessaire, car l'on peut tracer des courbes transcendantes sur tout cône algébrique, de même qu'on peut lui inscrire des surfaces transcendantes.

Théorème. — Etant donnée une courbe algébrique (C), de degré m et de classe p, les cônes qui l'admettent pour directrice sont, en général, de- degré ru et de classe p.

i° Degré. — Coupons le cône par une droite D quelconque. A cet effet, S désignant le sommet, considérons le plan (S,D). Il coupe (C) en m points. A chacun d'eux. I', correspond une génératrice G. qui rencontre D en un point M.

Réciproquement, à tout point M d intersection de D et du cône correspond une génératrice G qui rencontre | C) en un point P.

Le nombre des points M est donc égal au nombre des points I'. c'est-à-dire au degré m de (C).

Si l'on serre davantage le raisonnement, on aperçoit tout de suite des cas où il est en défaut.

(') Ceci est évident si l'on remarque que les traces îles deux cônes sur le plan de l'infini sont polaires réciproques par rapport au cercle de l'infini ( n° 528). On peut aussi le déduire, comme cas limite, de la théorie élémentaire des angles polyèdres supplémentaires.

surfaces réglées, développables; cônes et cylindres. 397

D'abord, pour qu'à un point I' corresponde une génératrice G située dans le plan (S, D). il faut (et il suffit) que ce point soit différent de S. Si donc S est sur < G), il ne doit pas être compté parmi les points I'. Or. >i q est son ordre de multiplicité, il compte pour q points dans l'intersection de (S,D) et de (G); de sorte qu'il ne reste que m — q points I* véritables. Donc, si le sommet S se trouve sur (G), avec un ordre fie multiplicité q, le degré du cône est seulement m — q.

La seconde partie de la démonstration peut également se trouver inexacte. Nous avons, en effet, supposé implicitement que la génératrice SM rencontrait la courbe (C) en un seul point P. Or. il peut 'très bien arriver qu'il y ait plusieurs points de rencontre. D'une façon générale, si chaque génératrice du cône rencontre la directrice {C) en n points, à chaque point M correspondent n points P. Par conséquent, le degré du cône, tel qu'il a été précédemment évalué, doit être divisé par n.

Cette circonstance ne se présente évidemment que pour des positions particulières de S. Si S' désigne l'une d'elles, on peut trouver des positions infiniment voisines pour lesquelles il n'y a pas réduction du degré, chaque génératrice G ne rencontrant (C) qu'en un seul point. Mais, lorsque S tend vers S '. il y a n génératrices G qui tendent vers la même position limite G'. On est ainsi conduit à considérer chaque génératrice G' comme comptant pour n génératrices confondues. Le cône de sommet S' est multiple d'ordre n.

Observons encore que cette multiplicité d'ordre n n'est possible que si m — q est divisible par n. Si m — q est premier, il n'y a jamais réduction du degré du cône.

On peut se demander aussi par quel mécanisme se fait la réduction du degré quand le point S tend vers un point S' de (C). Nous laissons au lecteur le soin de vérifier que cette réduction provient d'une décomposition limite du cùne, suivant le cône véritable de sommet S' et suivant les q plans tangents à (C) en S', qui passent par la direction limite de la droite S'S.

20 Classe. — Cherchons les plans tangents au cerne issus d'une droite quelconque Sa menée par le sommet. En raisonnant comme précédemment, on voit que ces plans ne sont autres que les plans tangents à (C) menés par SX. Leur nombre est donc égal à la classe p de cette courbe.

Mais, de même que pour le degré, il peut y avoir réduction de la classe véritable du cône.

En effet, d'abord un plan tangent P à (G) n'est tangent au cône que si la

3gS CHAPITRE XXVI.

tangente MT au point de contact M est différente de la génératrice SM (!). Donc, il y a réduction de la classe si S se trouve sur la déieloppable engendrée par les tangentes à (Ci. La réduction est égale au nombre de tangentes qu'on peut mener par le point S. Elle est, en général, d'une unité: mais, si S est un point simple de (G), elle est de deux unités. Si S est un point multiple d'ordre q de (C), la réduction est de iq unités (il y a deu\ tangentes pour chaque branche).

En second lieu, il peut arriver que chaque plan tangent au cône compte pour n plans tangents à (G); ceci a lieu lorsque chaque génératrice rencontre la directrice en n points. Dans ce cas. la classe du cône, évaluée comme il vient d'être expliqué, doit être divisée par n. Comme tout à l'heure, le cône est multiple d'ordre n.

Dans le cas particulier où la courbe (C) est plane et le point S en dehors de son plan, il est facile de voir que tous les cas de réduction du degré ou de la classe sont impossibles. Donc, le degré et la classe d'un cône sont toujours égaux au degré et à la classe d'une seclion plane quelconque^ ne passant pas par le son/met.

380. Théorème. — Etant donnée une surface (1), le degré des cônes qui lui sont circonscrits est, en général, égal à la classe de ses sections planes; la classe de ces cônes est égal à la classe de (S).

i° Degré. — Coupons le cùne de sommet S par une droite quelconque D. Tour cela, nous menons, par S. les tangentes à la section de (S) par le plan (S, D). Chacune de ces tangentes est une génératrice du cùne et rencontre D en un des points d'intersection cherchés. Le degré du cùne est donc égal à la classe de la section plane ci-dessus.

2° Classe. — Les plans tangents au cône menés par une droite S), quelconque ne sont autres que les plans tangents à (S) menés par cette droite. Le cùne et la surface ont donc même classe (cf. n" 305).

Comme au numéro précédent, la démonstration peut être en défaut, pour certaines positions particulières du sommet, le degré ou la classe étant alors réduits. Nous laissons au lecteur le soin d'examiner ces cas d'exception.

381. Surfaces cylindriques. On appelle surface cylindrique ou cylindre toute surface engendrée par une droite qui se déplace parallèlement à elle-même.

On peut observer tbul de suite qu'un cylindre es! un cône dont le

(') Si S est sur MT, le plan tangent le tong de MT est le plan oscillateur en M à (C), car c'est la limite du plan SjVUVT de deux génératrices infiniment voisines.

SURFACES RÉGLÉES, DÉVELOPPARLES ; CÔNES ET CYLINDRES. 3'jg

sommet est à l'infini; de sorte que les propriétés établies nux n "" 37o et suivants s'appliquent a priori aux cylindres. < )n peut d'ailleurs les démontrer directement, en reprenant, mot pour mot, les raisonnements faits pour les cônes. A oyons seulement ce que de\ icnnent les résultats du n° 375.

Pour que les équations (i) représentent un cylindre, il faut et il suffit que a. b. c soient proportionnels à des constantes. Si ce sont des cosinus directeurs, ils sont constants. L'équation (i4) est alors vérifiée identiquement, parce que a . b' , c' sont nuls. Donc, toute surface cylindrique est une surface développable.

Si la direction des génératrices est définie par l'intersection de deux plans

toute droite parallèle à cette direction a des équations de la forme

En raisonnant comme au n° 37o, on démontre que. pour qu'une équation ponctuelle représente un cylindre de génératrices* parallèles à (29), il faut et il suffit qu'elle puisse se mettre sous la forme

Si l'on prend P = o\ O = y. on retrouve une propriété connue (n«47).