ANALYSE COMBIXATOIRE. FORMULE DU BINOME

n'est autre cjue le tableau des C/^j, combinaisons des lettres ^, c. . .., / prises p à p. D'autre part, nous avons vu tout à l'Iicure que T' contenait G^,',l', combinaisons. La conclusion saute aux jeux.

25. Formule du binôme. — La lorinule du binôme de Newton est une application directe de la théorie des combinaisons. Elle a pour but de développer [x -\- «)'" suivant les puissances décroissantes de x, en supposant que ni est un nombre entier positif.

Plus généralement, proposons-nous de développer de cette manière

le produit

OÙ a, 6, ..., / sont m nombres donnés, que nous supposerons d'abord distincts. On sait que pour faire le produit de plusieurs sommes, on doit additionner tous les produits partiels obtenus en prenant, de toutes les manières possibles, un terme et un seul dans chaque somme, et multipliant les termes ainsi choisis. Si nous appliquons cette règle à P, nous vojons que tout produit partiel contenant x"^~P en facteur proviendra du choix du terme x dans ni — p des binômes donnés et du terme constant dans les p binômes restants. Si, dans tous les termes analogues, on met x"'-''P en facteur, le coefficient de x"^~P sera la somme 'èp des produits p à p des m nombres a, b, ..., /. Il est clair, d'ailleurs, que, pour avoir celle-ci, il suffit d'écrire le tableau des combinaisons/? kp de ces m nombres distincts, de faire le produit des nombres qui figurent dans chaque combinaison et d'ajouter tous les résultats obtenus.

Nous pouvons maintenant écrire le développement demandé sous la forme

(i3) P = X'" I Sia:'«-i-4- So x"'--^-^.. .+ S;jX"'-i' +-. . . -+- S„i-i^ + S„,.

Supposons à présent que les m nombres «, />, ..., /deviennent égaux au premier d'entre eux. La formule précédente subsistera toujours; mais, à la limite, tous les termes de Sy, par exemple seront égaux à aP. Comme ils étaient au nombre de C(/^, on voit que Sp deviendra égal à C^//^. On a donc

Telle est la formule du binôme de Newton^ ou simplement formule du binôme.

Remarques. — I. Etant donné que les deux lettres x et a jouent dans la formule (i4) des rôles identiques, on est en droit d'affirmer que les coefficients numériques équidistants des extrêmes sont és^aux; ceci revient d'ailleurs à la formule (lo) établie plus haut.

Lorsque, dans le calcul du développement, on est arrivé au milieu, les coefficients suivants se déduisent des |)remiers par svmétrie.

II. La comparaison de deux ternies consécutifs C^~' :r'"~/'"''' «/'"' et C^ x"^ '' al' nous montre, orâce à la formule C^, = C''"' — — ,

que Von passe d\in terme au suivant en diminuant d' une unité V exposant de x, augmentant d'une unité celui de «, multipliant le coefficient par l'exposant de x dans le terme que l'on quitte et le divisant par V exposant de a dans le terme auquel on arrive.

Cette règle est assez pratique quand on a affaire à des puissances élevées.

Elle nous renseigne aussi sur la loi de croissance des coefficients. Ceux-ci croissent tant que l'exposant de x dépasse de plus d'une unité celui de a. Si m est pair, il y a un terme du milieu, dans lequel les deux exposants sont égaux et dont le coefficient est le plus élevé. Si m est impair, il y a deux termes du milieu, dans lesquels les exposants de x et de a ditïerent d'une unité et dont les coefficients sont égaux entre eux et supérieurs à tous les autres.

m. Il est bon de connaître par cœur les développements suivants, qui sont d'un usage courant:

{x -{- ay = x-^ -h 3x'^a -h 3xa'- -h a-^ = cp^ -i- a^ -h oax{x -^ a),

(x '^- a)'* = x''-\- i x^a -+- 6372 «2 ^ f^xa^^ a'*.

26. Carré et cube d'un polynôme. — On peut se proposer de généraliser la formide du binôme en cherchant à dévelopjier la puissance m''™'' d'une somme d'un nombre (pielconque de termes. Il existe une formule générale résolvant cette question ('), mais, elle n'est d'un eiiij)loi courant que pour m^'i et 3; aussi nous bornerons-nous à l'établir dans ces deux cas.

(') Voir, par exemple, pour le cas d'un trinôme, Leçons (n^'iS).

ANALYSK CO.MBINATOIRE. FORMULE DU BINOME.

Soil d'abord à développer

ly

Nous avons d'abord les termes a- + 6-4- c- + , . . + /-, oblenus en multiplianl deux termes de même rang dans les deux facteurs.

Si maintenant nous multiplions le premier terme de A par le deuxième terme de B, nous trouvons le produit partiel ab. Mais nous y arrivons aussi eu multipliant le second terme de A par le premier terme de B. Donc ab est répété deux fois dans le développement. On raisonnerait de même pour les autres termes de même forme ( ' ) et l'on peut écrire la formule

..+ /)2= v^24.2Sa6 (2).

Développons maintenant

Si nous prenons, pour former des produits partiels, des termes de même

rang dans les trois facteurs, nous obtenons a^ -{- b'^-\~...-\- l^= / ^a^.

Choisissons maintenant a dans deux des facteurs et b dans le

troisième; comme cela peut se faire de trois manières différentes,

on obtient ia-b. Si l'on ajoute tous les produits analogues (^), on obtient Z'^a-h.

(') On les appelle quelquefois les ternies rectangles.

('-) Le signe S. qui s'énonce sigma de ou somme de, indique qu'il faut faire la somme de tous les termes qui se déduisent de a- ou de ab, en remplaçant, de toutes les manières possibles, la lettre a ou les lettres a et b, par les diderentes lettres a, b, c, ..., l.

(3) Il faut, pour les former, écrire le tableau des arrangements des lettres a, b, ..., l deux à deux. Il est à remarquer, en effet, que les arrangements ab et ba, par exemple, donnent bien des termes différents, car a-b n'est pas égal à b-a.

26 CHAPITRE II. — ANALYSE COMBINATOIRE. FORMl LE DU BINOME.

Considérons enfin les produits partiels de la forme abc ('). A chaque manière d'obtenir celui-ci correspond une permutation des trois lettres a, b^ c, et réciproquement, ainsi qu'on le voit en écri\ant chaque fois au-dessous de chaque facteur la lettre qu'on y prend. Il j a donc six termes égaux à a6c, et l'on a finalement

(i8) (a-h 6 H-. ..+ 0^= -«^+ 3 2:«2 6-t-6Saèc.

(') On les déduit du tableau des combinaisons ti'ois à trois. Deux produits ne sont en eflet distincts que si les lettres qui y figurent ne sont pas les mêmes.

27. Définition et but des nombres complexes. — On appelle nombre complexe ou imaginaire une expression de la forme a-\-bi, dans laquelle a et b sont deux nombres relatifs ordinaires ou nombres léels, et i un symbole dont nous préciserons le rôle dans la suite, mais qui, pour l'instant, doit être regardé comme un signe accolé au nombre b pour le distinguer de a ('). Le signe + n'a également (du moins jusqu'à nouvel ordre) aucune signification et le nombre complexe a -\- bi doit être simplement regardé comme un groupe de deux nombres relatifs que l'on veut introduire simultanément dans les calculs, mais en leur faisant jouer un rôle différent.

On convient de certaines règles pour étendre aux nombres complexes les opérations auxquelles peuvent être soumis les nombres ordinaires. Ces règles sont choisies de telle manière que les propositions fondamentales du calcul algébrique ne cessent pas d'être vraies. Une suite quelconque d'opérations effectuées sur n nombres complexes équivaut à une suite d'opérations effectuées sur 2/z nombres ordinaires, ceux-ci étant d'ailleurs partagés en deux classes distinctes, à savoir les nombres a et les nombres b.

On conçoit qu'il puisse résulter de là une simplification, tout au moins au point de vue de la forme, pour certains calculs algébriques de quantités réelles.

En Analyse, on peut de même considérer la variable complexe z r=^ X -\- yi-, où 37 et y désignent deux variables indépendantes, au sens ordinaire du mot (n° 56), et introduire des fonctions de cette variable. Cela revient à introduire simultanément deux catégories de fonctions de x et y (n° 127); et toute proposition sur les fonctions d'une variable complexe se traduit par une projiosition sur

(' ) On écrit indiiréreniment a -h bi ou a + ib.

cerlaines fonctions de deux variables réelles. On conçoit tout l'avantage qui peut découler de semblables considérations.

Enfin, un autre but, non moins important, de la théorie des imaginaires consiste en la généralisation de certaines notions, qui, définies au moyen d'un ou de plusieurs nombres réels, cessent d'avoir un sens quand ces derniers ne satisfont plus à certaines conditions déterminées. Telle est, par exemple, la notion de racine d'une équation du second degré, à laquelle les nombres imaginaires doivent leur origine (').

28. Dans le cas où b est nul, on convient de confondre le symbole a -h bf avec le nombre réel a. C'est légitime, car nous verrons que les règles du calcul des nombres complexes se réduisent aux règles ordinaires de l'Algèbre, quand on suppose nuls les nombres b relatifs à tous les nombres imaginaires sur lesquels on opère (n" 30).

Lorsque a est nul, on dit qu'on a une imaginaire pure; on l'écrit simplement bi.

Dans a -|- bi, a est appelé la partie réelle et bi la partie imaginaire; on dit aussi que b est le coefficient de i, bien que cela n'ait aucun sens a priori, du moins pour le moment.

Un nombre complexe est /lul, si l'on a à la fois a = o, 6 = o. Deux nombres complexes a-\-bi et a' -\- b' i sont égaux si a^=-a', b = b' ; symétriques (-) si «= — a', b= — b', et imaginaires conjugués si a = a', b= — a'.

On appelle module du nombre complexe c = a -{- bi le nombre réel positif o = y«-H-^-. On le représente ordinairement par le symbole | a -\- bi\. Dans le cas où b est nul, on retombe sur la valci/r absolue de a. Une proposition évidente est la suivante :

Pour c/u^un nombre imaginaire soit nul, il faut et il suffit que son module le soit.

29. Représentation géométrique des nombres complexes. — Soient deux axes rectangulaires Ox et Oy. Considérons le point M cjui a pour coordonnées a et b relativement à ces axes (fig- a). Ce point

(') Cf. Leçons, t. I, p. ^m et suiv.

('-) On dit aussi quelquefois que l'un est égal à VauIvc change de signe ; niais celle expression est mauvaise, car un nombre complexe n'a pas de signe.

est dit le point repré&entalif du nombre complexe c, lequel est appelé \afjixe de M. La longueur OM est évidemment égale au

Fi"