Calculer, avec cinq décimales, la somme de la série

S = .r H — - — \ — I — ^...H — '■ 1-... pour .r==o,i.

D'abord, la série est convergente, car

■in — I „ i

u,i u rt -f- 1 I oo

Calculons les ternies successifs avec sept décimales (n" 54) :

M| = O, I, //o = O,O0O'ï33'j, /<3 ^ O.OOOOCC^O, «i =: O.OOOOOOO.

Nous prenons donc (i ) S = »] -r- «a-H »3 = o, loo j')5 3.

( ' ) Si (ll-\-h)u,^^^c\.. par suite. ««„ tu- Iciidaicnl pas vers zéio. on aiiiait, ;i partir d'un certain raiij:;, nu^^'^k, k désignant un certain nombrf (ixc n(jM nul. I)'(jii, etc.

L'erreur de première espèce est <; — > car ;/., est seul évalué d'une

manière apj)rochée. Pour l'erreur de seconde espèce, nous nous rappelons que la convergence a été établie à l'aide de la règle de Dalembert, Nous avons ( n° 54)

I — k 7Xio'Xo,9y lO* 10'

L'erreur totale est donc plus petite que — r- Elle est d'ailleurs positive,

car «2 a été calculé par défaut et R3>o. Donc, S est compris entre o, ioo3353 et o,ioo3355. Les sïj: premières décimales fournies par la formule (i) sont donc exactes.

Remarque. — On aurait pu se borner à évaluer les premiers termes avec six décimales; mais le calcul n'eût pas été plus simple.

EXERCICES PROPOSÉS

1. On définit la suite ( //„ ) par la formule u„ rzz y'2 4- m„i, avec «, = y 2. Démontrer que cette suite est conveigente et calculer sa limite.

(On prouvera, par récurrence, quç ;/„> ",i-i et (jue «„•< 2. La limite est la racine positive de l'équation .r-= 1 + x .)

2. Même question, en supposant //„ = - («,;iH ) (L.P., 1912).

(«„ < «„, et «„> V-^' La limite est v A.)