l^rouver que les suites

Il I II,

"«=n I-...-I log/i,

Un — log I -.- lo'' A -r- . . . -I-

logn — f n -t- jl(tg«-H/i

ont convergentes ( !•>. I'., 1908).

On j)rouvera (|ue les séries de termes généraux //„^, — //„ sont con-

SKIUES. 19

vergenles. — La limite de la seconde suite s'apiieWe la conslanted'Euler

(Cf. Leçons, n" -238).]

11. Changement de l'ordie des termes dans une série. — Si une série est al)soIument convergente, on peut intervertir d'une manière quelconque l'ordre de ses termes sans changer sa convergence, ni sa somme. Si elle est semi-convergente, on peut, au contraire, en modifiant convenablement l'ordre de ses termes, lui donner telle somme que Ton veut.

[Considérer d'abord une série à termes [)ositifs (Cf. Leçons, n° 183); puis, dans une série absolument convergente, la série des termes positifs et la série des termes négatifs.

Pour la série semi-convergente, si l'on veut lui donner la somme S, on commence par prendre les termes positifs, dans l'ordre où ils se présentent, jusqu'à ce que leur somme dépasse S ; puis, on prend de même des termes négatifs jusqu'à ce que la somme devienne inférieure à S, et ainsi de suite.]

12. Si S est la somme de la série harmonique alternée (n"'*8), la

série

3 1 3 7 .\ ' ' ' 4 " — ^ /in — i m ' ' '

est convergente et a pour somme - S.

La somme des in premiers termes s'écrit

en appelant S^,, la somme des 4« premiers termes de S. S'appujer ensuite sur l'exercice JO.