Calculer la dérivée de la fonction - f

13. Calculer la dérivée logarithmique de la fonction co's x -\- i %\n x .

FONCTIONS EXPONENTIELLE ET LOGAUITIIMIQUE. NOMBRE e.

EXERCICES RÉSOLUS

1. La fonction e.vponcntielh' est la seule fonction continue satisfaisant à l'identité fonctionnelle

(0 ■ fi^)f(y)=f(.x-^y)-

Cette proposition, qui est en quelque sorte une récipro([ue de la formule (2) du n° 81, peut s'établir comme il suit : Si dans (i) on fait x =. o, on a

/(o)/(>)=/(jk), d'où •

Si l'on fait maintenant ^i^j', on a

[fix)Y = f{-ix).

Plus généralement, je dis que, si n est un entier positif, on a

(3j [f{x)\'^=fuix).

En eflet, ceci est vrai pour n^ 2. Procédons dès lors par récuirence. Admettons

I'"n multipliant les deux meml)res pary(.r), il \it'iil

\f(x)]"=f\(n — i).r\f(r) =f\(n-^\>x^-x\ =f(nx).

La formule est donc vraie pour toutes les valL-uis entières et positives de n. Je dis qu'elle l'est également [)our /i fractionnaire positif. Soil à