FONCTIONS EXPONENTIELLE ET LOGARITHMIQUE. NOMBRE C

démontrer

M A cet effet, élevons les deux membres à la puissance 7 :

ce que nous savons être exact.

Je dis maintenant qu'on a encore (3) quand n est incommensurable et

positif. En elfet, imaginons que - tende vers n, ce qui est possible

(n" o). On aura constamment (4). Mais, le premier membre tend vers [y"(-P)]", d'après la continuité de la fonction exponentielle. Le second membre tend vers f {nx) parce qu'on suppose la fonction f{x) continue. Donc, à la limite, on a bien (3).

Enfin, je dis que l'égalité a encore lieu pour n << o. Soit n'^- — n {n > o). Il faut prouver que

[f{x)]~'^=f(—nx), ou

■/(— nx).

D'après ce qui précède, ceci revient à

I =f(nx)f(— nx) =f(nx — nx) =/(o),

ce qui est vrai, [Equation (2).]

Finalement, Fidentité (3) a lieu quels que soient x et n. Si nous y faisons x ^ i et si nous posons /{]) =1 a, nous obtenons f{n)=^ a", ou, en changeant n en x,

'1. Limite de (cos x)'' pour ^ := o.

L'exposant devient infini, cos x- tend vers i. On a une expression de la forme (i -l-a)^ (n" 92). On a

3 = — , y. = oosx — 1 = — i sin^ — ,

2 sin- — / sin — \

IIaau. — Exercices. I. 3

La limite demandée est

e - = — rr-