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ceux-ci comme des binômes dans lesquels le symbole i serait une variable indépendante; on effectue sur ces binômes les opérations indiquées en suivant les règles ordinaires du calcul algébrique; on obtient ainsi un certain polynôme fii) relativement à la variable i. On calcule le reste de la division de ce polynôme par i- -\- I ; on obtient ainsi un binôme du premier degré A + \M (n°201). Par définition, le nombre complexe C = A+Bi est le résultat des opérations proposées.

Au point de vue pratique, il revient au même de remplacer^ partout où cela est possible, i- par — i , jusqu'à ce que i ne figui^e plus qu'au premier degré. En elT'et, supposons, d'une manière générale, quey(i) se présente sous la forme y (i) ^ P(0 + ^"Q(Oi f* 6t Q désignant deux polynômes ([uelconques en i. Je dis que le polynôme f\{i) ^ P(0 — Q (') donne le même reste de division par i- -\- i que /{i}- En effet, on a

ce qui justifie visiblement notre affirmation.

Dès lors, on voit (pi'on peut, sans modifier le résultai final, remplacer, chaque fois que l'occasion se présente, /- par — i dans f(i)\ ce qui conduit en dernier lieu à un binôme du premier degré au plus. Or, ce binôme est à lui-même son propre reste de division par /- 4- 1 ; il constitue donc bien le nombre complexe A + B/, résultat des opérations proposées.

Dans la pratique, on ne calcule jamais le |)olynome / (/). En effectuant les opérations indiquées, dès qu^on voit apparaître une puissance de i supérieure à la première on la remplace par — 1 , — i, -1- I , -{- i, suivant que l'exposant est de la forme ^n — 2, ^n — 1, 4/1, 4 '* + I • Cela simplifie évidemment les calculs.

/remarques. — I. Si tous les nombies donnés sont réels., f{^) ^^ réduii à une constante, qui n'est autre que le résultat des opérations |)ro[)osées ellectuées sur ces nombres avec leur sens babil iicl. f^e reste de division |)arf--|-i se confond avec la même constante, ce qui juslifie l'assertion émise au début du n" 2<S.

11. Si l'on remplace tous les nombres donnés par leurs conjugués., le polynôme /(/) est remplacé par y( — /). Le reste de divi-

NOMBUES COMPLEXES.

sion A + Bf est remplacé par A — Bi, comme on le volt en changeante en — /dans l'identité delà division. Le résultat des opérations est donc transformé en son conjugué.

Nous allons maintenant passer en revue les opérations élémentaires de l'Algèbre des nombres imaginaires, en nous servant du principe général qui vient d'être exposé ( ' ).