Addition. — On a évidemment

(3) («1 -H h^i)-\- («2+ iof )-)-•• •+ (««+ hni)

— (ai -t- ao H- . . . -+- a,, ) -I- ( 6, -i- 62 -(-...-+- è« ) i.

En particulier, on voit qu'on peut maintenant attribuer un sens au signe + dans l'expression (a-i-Z^i), car cette imaginaire peut être considérée comme la somme du nombre réel a et de l'imaginaire pure hi.

Il saute aux jeux qu'on peut étendre au cas actuel les propiùétés élémentaires de commutât! vite et d'associativité (-) de l'addition.

Représentation géométrique. — Soient '\fig- 3) M|, Mo, . . ., M„ les points représentatifs des nombres complexes c^., c<>., . . ., €„ pré-

Fi

Ma.

cédents et M le point représentatif de leur somme. En vertu de (3) et du théorème des projections, on a l'égalité géométrique suivante (='):

(OM) = (OAIi) + (OM2)4-..

;0iM„)-

(') On pourrait procéder en sens inverse, c'est-à-dire définir séparériienl chaque opération, pour en déduire, en dernier lieu, notre règle générale.

(-) Une opération effectuée sur plusieurs nombres est dite commiitative quand on peut, sans changer le résultat, luodilier arbitrairement l'ordre de ces nombres. IClle est associative si l'on peut remplacer une partie quclc()n()iic d'entre eux par le résultat de la même opération effectuée sur cette partie.

(') Voir Tome II.

Ô2 CHAPITRE m.

Par conséquent, pour avoir M, connaissant M);, Mo, ..., ^l,i, il suffit de construire Je contour polygonal OM, P2P3 . • • P//i P«. dont les côtés consécutifs sont équipollenls à (0M|), (OMo), . . ., (0M„). L'extrémité P„ de ce contour est le point M cherché.

Théorè:me I. — Le modale d'une somme est au plus égal à la somme des modules de ses dijfférenls termes.

Cela revient, eu eiïet, à dire tpie le segment de droite OM est, au plus égal, à la longueur du contour OM(Po, ..., P„. On peut aussi démoutrer cette proposition par nu calcul direct, en l'établissant d'abord pour /i = 2 et employant ensuite la métiiode de récurrence.

Théorème II. — Le module de la somme de deux nombres est au moins égal à la différence des modules de ces nombres.

Cela équivaut à dire qu'un côté d'un triangle est au moins égal à la différence des deux autres cotés.

PiEMAUQUE. — Deux nombrcs symétriques ont une somme /utile; deux nombres imagincdres conjugués ont une somme réelle., qui est le double de leur partie réelle commune.

3!2. Soustraction. — Retrancher (a, + ^,f) de (ao-i-Z^oi), c'est trouver (a + bi) tel (pie Ion ail

(«2^- b^i) = («1 + 61 i) -!-(«-!- bi) = («i + a) -t- (6i -t- 6)j. On lire de là

a -T- bi = {a-i — «i) -i- (b^ — b^ )i = («2-I- ^2^ + ( — <'i — ^1 i)- Donc, il suffit à' ajouter à c-x le nombre symétrique de c,. Géométriquement^ on doit avoir {fig. 4)

(0M2J = (0M,) + (0M), d'où

(5) (OM) = (OM2) — (OM,) = (M, Mo).

Donc, le module de (co — Ci ) est égal à la distance M, Mo et l'argument est C angle de Ox a^ec (M, Moj.

Remarque. — Deux nombres conj ligués ont une différence imaginaire pure.

Fig. 4.

33. Multiplication. — Conformé m en l à notre règle générale, on a, par exemple,

(«1 — bii } {ci.i-+- b-ii) = a lO^ — bibj-i- i( a^bo-^ «2^^i )•

En particulier,

(a -T- bi) (a — bi) = a-— b- ;

Le produit de deux nombres imaginaires conj ugués est réc] et égal au carré de leur module commun.

Le produit du nombre réel b par l'imaginaire pure i est l'iuiaginaire pure bi. On peut donc dorénavant considérer, dans a -\- bi. le terme bi comme le produit de b par i.

On pourraitcalculer le produit de n facteurs( '), mais cela ne présente pas d'intérêt, du moins sous la forme précédente. On obtient, au contraire, des résultats élégants en prenant les facteurs sous la forme trigonométrique. Par exemple

( 6 ) p 1 ( cos 11) 1 — <' si n w I ) p2 ( cos to.i -^ / si n to^ )

^ pi Co [costoi cos wj — sin oj] siii too -f- f (siii loj cos Wo -^ sin ojo coswi )]

= pi po [C0S( '0, -^ tOj I T- «' sin( OJj -r- l'Jo )].

On conclut de là I important théorème suivant :

Théorème. — Le module et Vargument d'un produit sont respectivement égaux au produit des modules et à la somme des arguments des facteurs de ce produit.

(') Le lecteur démontrera sans peine (|ik' l"<)|K'ration est commutative. associative et dislributive [cest-à-dire que l'on a

Haag. — Cours, I.

CHAPITRI' III.

Ces deux propriélés sont mises en évidence par la formule (6), pour le cas de deux fadeurs. Pour les élendre an cas dun nombre quelconque de facteurs, il suffit d'appliquer la méthode de récurrence, ce qui uoIVre pas l'ombre d'une difficulté.

GoiioLLAiRE. — Pour qn nu produit soit nul. il faut et il suffit que Vun des facteurs soit nul.

On le voit en passant [)ar les modules et utilisant, outre le théorème précédent, une remarque énoncée à la fin du n" 28.

Représentation géométrique. — Soient (y/^. 5) les deux points M, et Mo, dont les affixes sont c, et Cj. Marquons sur Ç)x le point U

tel que OU := + i . Constiuisons sur OM2 un triangle OMoM directement semblable à OUMi, le cùt('; OMo devant être homologue de OU. Je dis que le point M a pour affixe le produit C\ Co.

En elïel, il nous suffit, d'après le ihéorème énoncé ])lus haut, de prouver les deux égalités

OM = OMi .OM2, ./ OM = a-OMi -^ .rOMo.

La seconde est évidente du fait de l'égalité des angles homologues a:^OM, et MoOM des deux triangles. Quant à la première, elle s'obtient en écrivant la piopoiiionnalité des côtés homologues :