Etudier les variations de y =z i\ -{ j

La fonction n'est définie que pour i -\ > o, c'est-à-dire J">>o,

ou bien x <i — i .

Calculons la dérivée. Nous pourrions le faire en appliquant le ihéorème des fonctions composées (n° 130). Il est plus simple de passer par

le losrarithme

log^ = ;r log- ( 1 + ij,

Le signe de r' est celui de z, car y est essentiellement positif. Nous ne savons pas résoudre l'équation -: = o; étudions dès lors les \ariations de -; (Cliap. XXII). Nous a\ons

Lorsque x croît de — 00 à — i, z' reste >o; donc :; croît, d'ailleurs à partir de zéro, et par suite demeure > o. Quant x croît de o à -I- 00,

z' reste <Co; donc ; décroît, d'ailleurs jusqu'à zéro, et par suite demeure >> o.

Finalement, y est toujours > o; la fonction y croit dans tout intervalle où elle est continue.

Pour J7:=±oo, vnze ( n" 91). Quand x tend vers — i, iH — ^ tend

vers zéro, log ( i H ) vers — oc. logy vers + oc. donc y vers + co.

Quand X tend vers zéro par valeurs positives, i H — • tend vers + oo,

log V tend vers zéro (n*^ 96) ('); donc y tend vers e"=z i. On a finalement le Tableau

D'où la courbe ci-dessous ( fig. 4). Le point A(o, i) est un point d'arrêt. La tangente en ce point est Or. cary' y est infini.