III I

■1 n n — I ■}, in — ■>.) nia — \) (.n — i )

Généralisalions. — On pourrait calculer de même la série de terme

général

ru n — i) . . .{ n — p -r- \)

Plus généralement, soit

q et p étant deuv entiers quelconques, le second positif. La fonction z^yx'i rentre dans le type précédent. On la calculera; puis, Ton aura ^ = zx^'i .

Plus généralement encore, imaginons une série entière dont le coefficient dex'^ soit une fraction rationnelle en n ayant tousses pôles {w^^W) simples, entiers et négatifs ('). Par une décomposition de cette fraction

en éléments simples, on se ramènera à des séries telles que et ni' x" .

La première rentre dans le type (2). Quant à la seconde, si 1 on désigne

sa somme par y^,, on a la formule de récurrence, facile à vérifier,

qui permet de calculer, de proche en proche, /i, y^, y-^, ... en fonction de ro=2-'--r:^-

Une autre généralisation est la suivante : Sommer une série dont le

terme général est le produit de — par une fraction rationnelle du

type précédent.

En procédant comme tout à l'heure, on se ramène à des séries de la

forme '■ -, et nP—r- Pour sommer la première, il suffit de multi-

{n -h p)n\ ni

plier par x'' et de dériver pour retomber sur la série e'^x''~^; de sorte que l'on est ramené à la quadrature / e^'x^^'^dx^ qui se calcule par les fonctions élémentaires dès que/?:i (n" 101, I).

Quant à j'/; = \ «/'— 7 j elle vérifie encore la relation (3) et se ramène,

de proche en proche, à y^^^ze^ — i (-).

(') On les suppose négdtil's pour que la fraction ne devienne infinie pour aucune valeur de n positive ou nulle. S'il y avait des pôles positifs, il suffirait d'augmenter n d'un nombre naturel convenahle pour les rendre négatifs.

On pourrait admettre aussi des pôles multiples. Mais, on serait conduit à des quadratures ne se ramenant pas aux fonctions élémentaires. On pourrait même envisager des pôles non entiers, ou imaginaires, c'est-à-dire en somme une fraction rationnelle quelconque.

(-) Cf. J. H.\AG, Noiiv. Ann. de Malh. (avril 191.!, p. 181), et Eg.vn, Id. (septembre 19 ri, p. 4-4)-

'1. Décelopper en série entière la fonction r =i •

"^^ ' " I — a.r cosO -i- 37-

Décomposons en éléments simples (n" 107, I). Les pôles sont

X = cosO ± \/cos2 0 — 1 = cosO ± i sinO = s' , ( n" 109, I ).

Nous avons alors

( ej6 — x){ e-''^ — X ) e-'^ — f'^ \ p'^ — t « -'9 — ?' / I I

Or,

(2) — -! = -V ^ 7 =e '0(1 -i-.re-'^H- a';-^e-2/8.4...|a7"e-"'9-|-...),

f'J — .r e'^ I — .re-'O

formule valable pour | xe~'^ I < ' 1 c'est-à-dire | j: | <; i , puisque | e~'' | = i , (n« 109, 1).

De même, en changeant B en — 0.

( 3 ) — ^ = e'O ( i-f- Ji' e'9 + 3^2 g2/9 | , ^ ^« g«;8 -u . . . ).

Portons clans (i)

y = — ^ [(e-'O— e'Qj H-.r(e-2''9— e^^ô) 4...i .^«(e-ui+i)/9 e(«+i)j6)t...]^ (4) Y= -■ f siii6 + 37 sinaO + .r'- sinSO +...-+- ,r' sin (/i -f- 1)8 -t-. . .1,

formule valable pour | .r [ <; i .

3. Développer en série arc tang[R(a")J, log[R(,r)J, oii R(x) désigne une fraction rationnelle quelconque.

Les dérivées de ces fonctions sont visiblement rationnelles. On les développera par la méthode du n° 107, 1; puis on intégrera terme à terme (n» 106, I).

Pour le logarithme, il est néanmoins plus simple de procéder de la manière suivante; on décompose le numérateur et le dénominateur de H(J7) en un produit de facteurs linéaires (n" 205); soit

P, , . {x-^a)'^(x-^b)^...{x-^lY

(x-^ a')^'{x -\- b')? ...(X -i- l )^ On a

I o g l'« ( .7- ; = I og A -)- a lo g ( a; -i- rt ) -t- . . . — a' I og ( a- H- a' ) — ....

On développe cliaque terme en série, en écrivant par exemple

Iog(a7 + rt) = logf i-T j + Iog«;

puis, on ajoute ( ' ).

i. Développer en série la fonction t = (arc sin.r)- (E. P., 191 1). — On pourrait former le carré de arcsin.r (n° 107, \II); mais les calculs semblent compliqués. Essayons de prendre la dérivée

, 2 arc si n a:*

y I — ■ X- On ne peut encore développer directement. Dérivons de nouveau

(2) y = 2 arc sina- -:

On ne peut encore développer. Mais, si l'on élimine arcsin.r entre (i) et (2), on obtient Téquation difTérentielle linéaire très simple

(3) y"{\— x-^) — xy'—i^o,

ce qui nous conduit à la méthode des coefficients indéterminés (no 106, III).

Posons

— .r I j'' = ai, -t- ciix -+- «2 .r2 -f- . . . -H a,iX"- -{-... , \ — x-\ y" = ai-Jr- la-ix ^"ia-iX--^. . .^ iia,i a:"- ' -+- . . . .

Portons dans (3) et annulons successivement les termes constant, en x, eVi jc-, . . . , en x" \ il vient

aj — 2 = 0, la-y — ao = o, 3«3 — «1 — c/, = o, ....

(rt -i-i)a„+i — (/i — i)«„, — «„, = o. D'où

«1 = •>•, ao = — j ctz= -y . ■ . ,

(4) Cn -f-i)rt„+i = /m„i.

La formule (4) nous conduit à distinguer les termes de rang pair et ceux de rang impair.

Pour X := o^ y' s'annule; donc a^ et par suite tous les termes de rang

(') On (lévelopperail ilc iiièinc lui; y lU'^) = — '"glM-^)-

pair sont nuls ('). Nous avons seulement à calculer «o^-t-u d après la formule de récurrence

et en tenant compte de «1=2. En opérant suivant la méthode générale (n° 31i). on trouve

Nous avons donc ( D ) y — o.\ X ->!- - cr^ -^ — -r .

Cette série admet pour intervalle de convergence ( — i. H-i), comme le montre la règle de d'Alembert. La formule (5) est donc valable à l'inrieur de cet intervalle. En intégrant terme à terme, on a finalement, en remarquant que r s'annule pour a: =: o,