Vérifier sur les développements en série les identités

sin-a7 -^ cos^a; = I , sin 2 J" = 2 sin.r cos.r. cos?.x = icos-x — i.

i. Développer en série les fonctions suivantes :

{X 1) (X -i- 7.) {'ix -r- l) ( X ^- 1 )-{z -^ 3 1-^

X'--^ X -^ l Xl' -r- Xl'' ' -f- . . . -r- X -H 1 ,. , , 1 •> I . • ^^ ' >' ^ — ' • 1- I

Four les deux dernières, les écrire — et ; ; puis développer

par exemple

et multiplier par (i — j:)'-r=i — 2X + .r-.

o. Développer en série la fcjnclion — ; > saclwint (lue le trinôme

a ses racines imaginaires,

[On pourrait décomposer en éléments simples et appli(juer la méthode générale ( n° 107, 1); mais il serait assez pénible de faire disparaître les imaginaires, à moins qu'on ne mette celles-ci sous la forme Irigonomé-

liique. 11 revient an même de mettre le trinôme sous la forme z- — 2^cos5 + i. en posant jc^z\q] ce qui est toujours possible si p- — 4q<Co. On est alors ramené à l'exercice résolu n" 2. On développe suivant z; puis l'on revient à a;.]

6. Appliquer la méthode précédente aux fonctions I x'^-\- 'i T — I

x'--^x-^i x- — 2X -h \ -îx'^-h 'ix -^ 3 7. Dévelop])er les fonctions X- — X -^ 3

x^ — 3x--i-'i ux^ -h x'^-\- -i (x-^ — i){x'^ -+-■!)

[D'une façon générale, si le dénominateur ne dépend que de .r'", on développe son inverse suivant les puissances de jc"^ et l'on multiplie par le numérateur.]