OM

OU OM = OMi.OM,

En répétant la construction précédente de proche en |)roche, on p<jurrait construire le point représentatif du produit d'un nombre «juciconque de facteurs.

on

3i. Division. — Etant donnés C) et Co, il faut trouver c tel que

d = CCi

{ai—- b-ii) = {ai-r- b^ i) (a -i- bi j = aay — bbi ~- i( aby -+- bay).

D'où les deux équations

aai — bbi = a^.

abi -^ bai = ^2»

qui donnent

biHy — a=> b\ a\ — b\

Donc, la division est toujours possible et admet une seule solution, à condition que le diviseur ne soit pas nul.

Théouéme. — On ne change pas le quotient quand on multiplie le dividende et le di^'iseur par un même nombre complexe quelconque non nul.

En effet, si l'on a t'o ^ cC) , on a aussi ( Co :■) = c (ti z), quel que soit :; ; de sorte que c est aussi bien le quotient de Co^ par c, z que de c-^ ])ar r,.

On déduit de ce théorème un moyen rapide d'effectuer la division; on écrit

az-^b=,i (a=i^^b^i){ai — b^i) nxa.2-^bybn .{a^by — a^bi)

Théorème. — Le module d' un quotient est égal au module du dividende divisé par le module du diviseur; l'argument du quotient est ésal à l'argument du dividende moins celui du divi-

seur

Ce théorème est une conséquence immédiate de celui du n^SS.

36 CHAPITRE ni.

Représentation géométrique. — Le point M s'oblienL en construisant le triangle OM2M directement semblable au triangle OM,U; mais, celte lois, OMo doit être l'homologue de OM, {fig. <3)-

3o. Puissances entières. — Pour élever une imaginaire à la |)uissance entière /n, il est commode de la prendre sous la forme Irigonomélrique. Si l'on applique, en efTet, le théorème du n° 33 au produit de m facteurs égaux, on a

(g) [ p(cosa» -+- /sin «)]'•■'= p"'(cos/?i w -+- i sin/» co).

En particulier, si p = i , on a

(10) ( cos oj -4- i sin oj )'" = cos ni w -)- / sin m to,

formule connue sous le nom àe formule de Moivre.

Géométriquement^ si l'on prend un point M) situé à la distance 1 de l'origine {fig- 7), les puissances entières successives de son affixe

Fig. -7.

sont représentées par les sommets du polygone régulierUM) M2M3,..., inscrit dans le cercle de centre O et de rayon 1 ; la puissance m'*™^ est représentée j)ar le sommet M,,;. Si Von définit la puissance négative c~"' par c '"^ — > ce (jiii j)r<M;ède s'applique aussi bien aux })uis-

sances négatives et il suffit de continuer la ligne polygonale dans le sens négalif, à partir du point U, suivant l M,M 2, .... Si l'on désigne, en outre, le point L par Mq et si l'on convient que c" = 1, on voit que la puissance m"''"'' de l'aflixe de M, est représentée par M,„, et cela pour une \ aleur cntièie quclconcpie de m, positive, négative ou nulle.

Pour que le polygone se fejine et, par sn'iic, pour que les puissances entières consécutives se reproduisent périodiquement à partir

il' une certaine valeur de Vexposant, il faut et il suffit que — soit un nombre commensurahle.