Racines. — Soient un nombre comj)Iexe C, de module R et

d'argument a, el m un nombre naturel. On appelle racine m"'""' de Q

tout nombre c c[ui^ élevé à la puissance m, reproduit C. Ou

écrit

Si 3 et (1) sont le module et raro:ument de c, ceux de C doivent être (n" 35) g'" et miii. On a donc (n" 29)

p'« ^= R, moj = 7. -r- 9. A-,

A' étant un entier positif, négatif ou nul. Toutes les racines de osant donc données par les formules

— % -\- 1 1xT.

oit l'on doit donner à k toutes les valeurs entii^res possibles.

On pourrait croire, à première vue, qu'il existe une infinité de racines correspondant aux différentes \aleurs de k. jMais il n'en est rien, car, pour que les deux nombres k et k' donnent la même racine, il faut et il suffit qu on ait (n° 29 )

OU

Il suit de là (\v\il y a seulement m racines distinctes; on les obtient toutes en donnant à k m valeurs entières consécutives, par exemple o, i , ?. , . . . , m — i .

Représentation géométricjue. — Nos m racines sont visiblement représentées |iar les sommets d'un polygone régulier convexe de

m cotés, inscrit dans la circonférence de centre O et de raAon R'" ; le premier sommet peut être pris à l'extrémité du rayon déduit de Ox

par une rotation de l'angle —

Racines de V imité. — Nous terminerons ce Chapitre en faisant connaître quelques propriétés classiques des racines /?2'«'™*'s ^jg l'unité. Leur étude est suffisamment justifiée par le théorème suivant :

Théorème. — On obtient toutes les racines wî'^'"^^ cVun nombre en multipliant lune cV elles par les racines m"'""°^ de V unité.

En effet, nous aurons ces dernières en faisant R =: i , a ^ o dans les formules (i i), ce qui donne

Si Ton multiplie le nombre (p', co') par la racine ( Oo=l^"% (l)o= ~ on obtient (n" 33)

p =: p p„= R'", tO = Cl) -f- CÛQ = • C. Q. F. D

Représentation géométrique. — Les racines /«'«""""^ de l'unité sont les affixes des sommets du polygone régulier comme MoMi Mo, . . . ,

I^J--.Mo(/o-. 8).

Fig. 8.

Nous appellerons rang d'une racine l'indice du sommet M/t correspondant;

c'est aussi celui îles nombres o, 1, 2, .... m — i par lequel il faut multiplier —

ni

pour obtenir l'argument de la racine considérée.

Théorème. — Si l'on élèi-e une racine //?«è'«c de Vunité aux puissances entières successives i, 2, 3, ..., on obtient encore des racines m''^""^''' de l'unité, formant une suite périodique.

En effet, si l'on part de la racine co/,, de rang k, on obtient successivement les racines de rang A, 2/1-, jA", ..., car les points représentatifs des puissances entières de w/^ sont les sommets du polygone régulier de premier côté

j\I(,M/,- ( n" 'il'*). D'ailleurs, l'arc MqM/, étant commensurable avec la circonfé-

rence, ce polygone «e ferme nccessairement ; par conséquent, la siiiie oj/,, ojo/o . . . est bien périodique. Le nombre de ternies distincts de cette suite, c'est-à-dire le nombre des côtés du polygone, est manifestement le plus petit nombre entier yo qui, multiplié par k, donne un multiple de w. Autrement dit /jA doit être le plus petit commun multiple de k et de /n ; par suite, p est le quotient de m par le plus grand commun diviseur de ces deux nombres. En particulier, pour que la suite comprenne toutes les racines m'^""'-'' , il faut et sujffit que p soit égal à ni et. par conséquent, que k soit premier avec m. On dit alors que to/, est une racine primitive. Si m est un nombre premier, toutes les racines, sauf l'unité, sont primitives. D'après ce qui précède, on a le théorème suivant ;

Théork.me. — On obtient toutes les racines en élevant une racine primitive à m puissances entières consécutives.

C'est ainsi que si Ion appelle y une racine cubique imaginaire de l'unité, les trois racines sont y, y- ety-^= i.

CHAPITKE IV.