Etant don ni' es les équations

( \) o' sin 0 cos Ci -H j-' sin 6 sin 'j -H G cos 6 = oj,

{■}.) T cosb coscp -r- y cosO ïijn o — ;; sin

(3 ) — ./-in 0 sin '^ -\- y sinO cosçp

OÙ w désigne une fonction donnée de 0, o, on imagine que Von élimine 5, o entre elles. L'écjuation obtenue définit z comme fonction

de X et de y. Calculer les dérivées partielles — et — '

•^ ' ôx (Jy

Nous allons différentier nos trois équations. Nous éliminerons dO el do., nous obtiendrons de la sorte nne relation linéaire el^ homogène en clx. dy. dz, (|ui nous donnera les dérivées demandées.

Diflerentions ( i) :

dx sinO cos'J-HrfjK sinO sin œ>-i-c?^ cosO -H (37 cosO cos(i-i-^ cosO sin '>p — ;: sin Oj^/O

— ( — X sin 0 sin ç -+- y sin 0 cos cp ) r/'j, = dm ;

on, en tenant compte de ('2) et (3 ),

c/r SI 11 IJ cosœ -+- (ly mii ') mm -.i -f- r/.; cos') r «'' -• — (>'^ = «('>•

Mais arj) T=z —p- c/tl -{ c/co. rsotre équation se reduil donc a

(4) dx sinO cos'i -f- dy j^inO sino -f- f/^ ces 0 = o.

Les difiérenlielles <:/Ô, do se sont éliminées d'elles-mêmes et nous avons

/ - s t)2 , àz ^ .

(d) — - = — tanii'J cosc;. — = — tane tj sin '-o.

^ ^ dx 5 , . ^^j, b

3. Etant donnée l'expression {y- — œ'^-{-'2œy)dx + {y- — x- — '2.xy)dy^ par quelle fonction de {x--\- y-) faut-il la multiplier pour qu''eUe devienne une différentielle totale exacte!

Soit À le facteur cherché. Ou doit avoir ( n° IVl )

OU, en appelant À' la dérivée de /. par rapport à {x--{- y^),

~k' y{ y- — X- -!- 2 ry ) -T- )•( y -r X ) = Vx(y- — x"^ — 2 xy ) — a(x -h y), \'{x^-^ x'^y -1- xy^--^y^) -\- "iki^x -^ y) = o, a' X -+- y

A x^ ^ x-y -^ xy- -r y'^

Si A est une fonction de x--\-y-, le second membre ne doit plus dépendre que de cette même quantité. Effectivement, le dénominateur peut s'écrire [x -\- y) {x- -\- y'^ ), et il reste l'équation

d'où

logA = — 2 iog(;r2-i- jï^ l loge (c = const.);

{x-'-^y-'f Vérifions a posteriori (jiie ^e\J)l'es^ion

( y2 j-2 i .^xv ) dx + {y- — X-— ■i.xv ) dy

est bien la différentielle totale (rmie fonction z de x et y, que nous allons calculer. On doit avoir

Oz y'- — X- -\- 2 xy ^