I. — SUITES INFINIES. — LIMITES
37. Imaginons qu'à chaque nombre naturel /?, on fasse correspondre, au mojen d'une règle quelconque qu'il nous est inutile de préciser ('), un nombre détermlni' //,i (-). Nous obtenons ce qu'on appelle une suite infinie u , , i/-^, • . . , u,i' • • • , dont?/„ est dit le terme général^ et que nous représenterons par le symbole ('/«)•
On dit que la suite {un) est convergente ou encore que son terme général tend vers une limite déterminée pour n infini ^ quand il existe un nombre fixe u jouissant de la j)ropriété suivante :
Etant donné un nombre positif t qi/on peut choisir aussi petit qu'on le veut, on peut lui faire correspondre un nombre naturel^ tel que l inégalité /i^lN entraîne la suivante
Autrement dit, si petit que soit e. Un finit toujours par rester compris entre u — s et u -\- t (•'). J^e nombre u est appelé la limite de la suite ou du nombre variable u,/.
Si le nombre u n'existe pas, on dit ipie la suite est divergente. Ceci })eut arriver de deux manières. Un premier cas est celui où le nombre u„ tend vers + ce, ou vers — oo. On dit, par exemple, que u,i tend \ers + oc, ou encore augmente indéfiniment par valeurs positives, si à tout nombre K^ choisi à V avance aussi grand qu on le veut, on f>eut faire correspondre un nombre naturel N
(') La plupart du temps, «„ se présentera pour nous sous la forme d'une certaine fonction algébrique ou transcendante (Cliap. \ ) du nombre n. ('-) Ce nombre peut être réel ou imaginaire. ('■) Cette interprétation suppose m„ et u réels.
SÉRIES. 4t
tel tjue r inégalité /? ^ N eiUiaîne «„ >> A ('). La limite — x se définil (1 une manièie analogue.
Cette [ireniière espèce de di\eriience ressemble, à un certain point de vue, à la convergence, dont ellf ne diflère qu'en ce que le nombre fini II est remplacé par ce qu'on pourrait jqipeler lun des deux nombres -{-'X> ef — ce, en réservant ici pour le mot nombre un sens purement conventionnel défini par ce qui précède. La divergence est tout autre lorsque u,i oscille, au contraire, infiniment sans tendre vers aucune limite finie ou infinie.
38. \ oici maintenant quelqmi's tliéorèmes classiques et tout à fait intuitifs sur les suites infinies ou, si Ion veut, sur les limites.
THÉoiif;ME I. — La limite d\tne somme est égale à la somme des limites de ses te/mes.
Dune façon précise, soient les deux suites convergentes (un) et (r„), de limites respectives // et ç» ; je dis que la suite (»'«); '^^ terme général (ï'«= u„ — v,i, est convergente et admet pour limite a -\- v. En effet, étant donné le nombre c. nous pouvons trouver N (-), tel que /i^N entraîne à la fois
(i) \i(„—u\<z et \v„—i-]<z:
d'où, en s'appuyant sur le théorème I du n'^ 31,
(2) I (11,1 -i-Vn)— (U^V)\ — \(lln — U I — Ù'/i — f ) =: | "« — " 1 — | (■« — •' |<2£-
Comme c peut êire diminué à volonté, il en est de même de 2 sel le théorème est démontré.
On rétendra, soit directement, soit j^ar récurrence, à une somme comprenant un nombre quelconque fini de termes.
CoROLLAïuE. — Si la suite («„) est convergente et la suite (('„) divergente^ la suite {un-h <//) <'-^f divergente.
(') Il revient au même de dire que — tend vers zéro jiar valeurs positives, ou, comme nous écriions quelquefois, vers -t- o. De même, si it tend vers — x, — tend
vers — o.
(-) En réalité, nous avons un nonilne N pour (u„) et un nombre N" pour {<>'„); mais il suffit de prendre pour N le plus yrand de ces deux nombres.
(2 CHAPITRK IV.
Car, si elle était convergente, il en serait de même de la suite qui a pour terme général ( ««+ <'«) + ( — Un) ( ' ) = ^'m ce qui est contraire à l'hypothèse.
Ïhédkème II. — La limite cV un produit est égale au produit des limites de ses facteurs.
D'une façon j)récise, soient les deux suites convergentes (m«) et (v'/,), de limites respectives u et v' ; je dis que la suite de terme général iv,i= u,ii>,i est convergente et admet pour limite w^Ui\ En effet, partons des inégalités (i), qui sont vérifiées dès que u ^iN. Si nous posons
nous avons
Comme s peut être diminué à volonté, il en est de même de £ ( I w| + I p I + s) et le théorème est démontré.
On retendra au produit d'un nombre quelconque fini de facteurs.
THÉoRÎiME 111. — Si la suite {u,i) est convergente et a une limite non nulle^ la suite ( — j est aussi convergente et a j)our
limite — ■ u
En effet, évaluons la diilerence — en fonction de u,/ — // = a„;
Un II
nous avons
Or, étant donné un nombre posild s, (|uc nous astreignons à être plus petit que ■ — -, nous pouvons trouver N tel que, si /i^N, on ait I y-« I -< £ <C — ■ Mais alors, on aura, a fortiori,
( '■ } f^es suites ((/„) et ( — m,j sont evidemiiieiil <;i)nver{;cnles ou ilivergenles en même temps.
{■) Cf. n» 31, lliéorème II.
Comme ; peut être diminué à volonté, il en est de même de j— — et le théorème est démontré.
Remarque. — Dans le cas où u est nul, la suite — est divergente.
i Un
Le lecteur prouvera aisément que si w ^ -4- o, — tend vers + 00 ; si u^ — o, — tend vers — a:.
Un
Théouème IV. — La limite cV an quotient dont le dénominateur ne tend pas vers zéro est égale au quotient des limites de ses termes.
D'une façon précise, soient les deux suites convergentes {un) et {v„), de limites respectives ff et c, r n'étant pas nul. La suite (7^) est convergente et admet pour limite-- Cela résulte, en effet, des deuK théorèmes précédents, car on peut écrire — = u a —
CoROLLAiRi-. — Si la suite (u,i) est convergente et a une limite non nulle et si la suite {v„) est divergente^ la suite (//«r^) est également divergente.
Car. si elle était convergente, il en serait de même de " ■= v,i.
» ' Un
39. Plus grande et plus petite des limites. — Supposons que tous les termes de la suite (««) soient inférieurs à un certain nombre fixe A ( 1 ). On dit alors que celle-ci est bornée supérieurement.
Nous plaçant dans cette hypothèse, rangeons dans une première classe tout nombre a qui peut être dépassé par des termes de la suite de rang aussi élevé qu'on le veut et, dans une deuxième classe, tout nombre a' tel qu'à partir d'un certain rang iin reste inférieur àa'(-). Il est clair qu'aucun nombre n'échappe à la classification. En second lieu, a est forcément plus petit que a' : cai-, s'il était plus grand, il ne pourrait être dépassé par des termes de rang aussi élevé qu'on le voudrait, puisqu'à partir d'une certaine valeur de n. u^ reste inférieur à a' et, par suite, resterait plus petit que a.
Nous venons donc de faire une coupure ( n° 10), qui iléfinit un certain nombie U, qui est dit la plus grande des limites de la suite. On peut le
( ') On les suppose ici réels.
(^) Il existe certaiiierneiit de tels nombres, par exemple tous les nombres supérieurs ù A.
caractériser en disant que, si petit que soit le nombre positif z, Un finit par rester inférieur à U -f- £. et l'on peut trouver les valeurs de n aussi élevées qu'on veut telles que »„ dépasse U — £.
On définit d'une manière semblable la plus petite des limites d'une suite bornée inférieurenient.
Une suite est dite non décroissante, si l'inégalité n'';> n entraîne la suivante u„'^u„. Si Ton a, au contraire, Hn'Sum la suite est dite non croissante (').
Théorème I. — Si une suite non décroissante est bornée supérieurement, elle est convergente et admet pour limite sa plus grande des limites.
En effet, si petit que soit s, on peut trouver, d'après ce qui précède, au moins un terme u^ supérieur à lî — £. Mais alors, dés que w^N, on a Unluy'^lJi — £. D'autre part, ?/„ est toujours < U, car si l'on trouvait un terme //„• égal à U -f- /? (A > o), dès que n serait 2/*', Un serait i^ U -I- /* et, par suite, ne pourrait pas devenir et rester <[ U -+- s, pour des valeurs de £ aussi petites qu'on le voudrait. [I suit bien de là que «„ admet pour limite U .
On a un théorème analogue pour les suites non croissantes et bornées inférieurement.
Nous terminerons ce qui est relatif aux suites infinies par l'énoncé du théorème suivant, dont on se sert trop peu souvent pour que nous en donnions la démonstration (-) :
TiiÉORKME II. — Pour qu'une suite (Un) soit convergente, il faut et il suffit qu'à tout nombre positif z on puisse faire correspondre un nombre naturel IN tel que l'inégalité « c IV entraine la suivante
I Un+p— Un I < £,
et cela quel que soit p.
