Nature de l'intégrale j sin (.r-)r/,r

• Il

La fonction sous le signe / clinnge in(lé(iniment de signe; nous ne

pouvons donc pas utiliser les critères du n" \'.')'^. Nous .liions nous li\rer à une étude directe de l'intégrale. A cet eflet, nous allons la comparer à la série alternée dont les termes successifs sont obtenus en décomposant l'intégrale au moyen des valeurs de j:' (|ui foiil changer le signe de sin(x^). Ces valeurs sont \//» tt, k prenant toutes les valeurs entières positives. Nous aurons donc la série alternée

Uq «1 -+■ II-,

lt-2iL — W2n+1

en posant

INTEGRALES DEFINIE ET INDEFINIE

] ?<i = — / sin(x- ) dx.

ii,,=( — 1)1' I s'in(x-) dx,

Je dis que la suite («,, ) est décroissante.

Pour le prouver commodément, nous allons ramener toutes nos intégrales à avoir les mêmes bornes. Il suffit pour cela, de poser

Nous avons alors (n° 158)

r^' . , dy r~ ^\nv dv

• 0 2 vp~ —j' •- 0 i\ p~—y

Lorsque/? augmente, la quantité sous le signe / diminue: donc l'intégrale diminue ( ' ).

Je dis maintenant que Up tend vers zéro, pour p infini. En elTet, d'après la formule de la moyenne (n*^ lio). on peut écrire

sinr, -

iS'p-^r, 'i.\p-

()uand n augmente indéfiniment, ' '==■ tend vers zéro; donc, a Jor- ^ i ^ ■x\i p-

tiori. Up.

Finalement, notre série alternée est convergente (n" 48). Soit S sa

omme. Je dis que / ûn{jc-)dx a pour limite S. quand c len

vers H- ce

(' ) Nous admettons ici la propriété éviilente qui suit : Si dans l'iiitervaUe {a, b), on a constamment f{x)> g{x), on a aussi j f[x)dx> j g(x)dx. Cela

revient, en ellct. à / [f[x) — g{x)] dx'> o; ce qui est évident, puisque, pour

cette intégrale, tous les éléments de la somme - sont positif*. Ajoutons que nous avons supposé implicitenienl a < b.

7fi

En en'et. soit p le quotient à une unité près par défaut de 3^ par r. Si Sy, désigne la somme des/> premiers termes de la série, on a (n° lio)

Mais

qui tend vers zéro. Donc / — S^, tend vers zéro et, par suite, / tend

vers S, limite de S^,.

/{emarr/ues. — I. On a

/ f'\\\i T- ) dx = I sin{x'^)d( — x) = — 1 sin(2:2)

dxz=— S.

Donc