II. SÉRIES A TERMES POSITIFS

iO. Généralités. — - Etant donnée une suite infinie (««), on appelle série le svinhole

(') Il peut arriver que ces caractères ne se maiiiteslcnt qu'à partir d'un certain rang; mais cela n'a aucune importance, car au point de vue de la convergence, on peut toujours supprimer d'une suite un nombre (]uelconquey?«< de termes.

(^) Le lecteur la trouvera dans J. 'I'annkry, Introduction à ta théorie des fonctions, :>" édition ( n° 5(J).

Ce svmbole n"a, a priori^ aucun sens, puisque nous ne savons pas ce que c'est que la somme tlun nombre Infini de nombres. On lui en donne un par la convention suivante :

Appelons '6,1 la somme des /? j>remiers ternies de la série. Si la suite (S«) est cotiKer génie et a pour liniiie S, on dit que la série (un) est convergente et a pour somme S. Si, au contraire^ la suite (S/,) est dii'ergente^ on dit aussi que la série (Un) est divergente.

Reconnaître la nature d'une série, c'est pouvoir dire si elle est convergente ou divergente. Ceci est relativement facile dans le cas où la somme S„ peut se mettre sous la forme d'une fotiction simple den, dont on |niisse chercher la limite pour n infini. Malheureusement, ce cas est l'exception ; cest pour(|uol il a été nécessaire détablir ce cpTon appelle des règles, critères ou caractères de convergence, lesquels permettent de reconnaître la nature de certaines séries.

Aucun critère n est d'ailleurs absolument général, c est-à-dire qu'il existe toujours des séries sur lesf[uelles \\ ne renseigne pas. H y a toutefois exception pour le suivant :

Thkorîime 1. — Pour qu une série soit convergente, il faut et il suffit qu'à tout nombre positif z on puisse faire correspondre un nombre naturel N tel que la somme d'un nombre quelconque de termes consécutif s d'indices supérieurs à y» soit, en valeur absolue, plus petite que t.

Cela résulte en eflet du théorème II du n" 39. H est du reste aisé de prou\er (|ue la condition est nécessaire. En effet, si la série iu,i) est con\er;^ente et a pour somme S. on peut, étant donné i. trouver N tel que /î^N entraîne | S„ — S| << -• Mais alors, on aura, (juel (|ue soit le nombre positif/?,

I s„^/. - s„ I = \{?>n^p- S ) -- r S - s„ jj 1 1 s„^/. s I ^ I s - s„ |< '^ - J = £.

c'est-à-dire

I Un+\ -+- ?'«+2 -f- . . . -^ Un-^,j \ < ^- (■■ Q- ^- »■

l'ratiquenK.nt, ce théorème sert peu souvent pour étalilir la convergence d'une série, par suite même de sa généralité.

['ar contre, en \oici une conséf|uence d a[)plicalion courante :

Théorème II. — Pour qu une série soit convergente, il faut que son terme ;zénéral tende vers zéro.

Cela résnllc de la démonstration précédente où Ion ferait/? = i.

Il suit de là que, si Von a reconnu que le terme général d'' une série ne tend pas vers zéro, on peut affirmer que celle-ci est divergente. Mais, il faudrait bien se garder de conclure à la convergence dans le cas contraire, car nous verrons de nombreux exemples de séries divergentes dont le terme eénéral lend vers zéro.

41. Séries à termes positifs. — Nous commencerons par étudier une catégorie fort importante de séries, qu'on appelle séries à termes positifs. Comme leur nom l'indique, ce sont des séries dont tous les termes sont positifs. On peut v rattacher aussi les séries à termes négatifs et, plus généralement, celles dont le terme général finit, à partir d'un certain rang, par garder un signe constant ( '). Il est (dair, en eflet, qu'on peut toujours, par la suppression d'un nombre fini de termes (ce qui ne change pas la nature de la série) et, le cas échéant, par un changement de signe, se ramener à une série à termes tous positifs.

Théoiuc.me. — Si la somme des n premiers termes d'une série à termes positifs est bornée supérieurement, la série est convergente.

Car la suite (S,;) est non décroissante ^t l'on peut a|>pliquer le théorème I du n" 39.

Corollaire. — Si une série à termes positifs est divergente, S„ croit indéfiniment avec n.

Les autres critères reposent tous sur la comparaison des séries éi termes positifs.

A*2. Comparaison des séries à termes positifs. — Théorème I. — Soient deux séries à termes positifs (u„) et (r„) et un nombre positif a.

i" Si Von a, à partir d\in certain rang., Un = ciVn et si (v„) converge, il en est de même de (un).

a° Si Von a, à partir d^un certain rang, u,i=av„ et si (v,i) diverge, il en est de même de ( u„).

(') On peut ic< ocinaitre ce caractère au mo^'en du rap|)(>rt — ^^^S (jui iloil liiiir par rester positif.

SÉRIKS. 4"

En cllet, nous pouvons d'abord supposer, en verlu dune remarque déjà faite, que ces caractères se manifestent dès le premier tei'me. Ceci étiinl, aj)pelons L'« et \ „ les sommes des n premiers termes des {'/„) et (r„) respectivement.

i" Si V est la somme de la série (r„), on a

on est ramené au tliéorème du numéro ])récédent.

2" On a

U„i:aV„;

or \,i augmente indéfiniment (n" Ai); donc aussi Un.

Applicalion pratique. — Pratiquement, il est commode de chercher la limite du ra|)|iort ^. Si cette limite À existe et si elle n'est pas nulle, ni infinie, on jieiii affirmer que les deux séries sont de même nature. Le rapport-^ finit toujours, en effet, par rester compris, par

exemple, entre ah — == — et a = -; des lors, si (r„) converge,

on apjilique (i") en j)renan.t a=^ —; si (v,i)tliverge, on applique (2°)

en prenant r/ = -• ' ■>,

Si ). ;= o. on ncst renseigné que si (r„) est convergente : {uu) l'est aussi.

Si A = -j- ^^ on n'est renseigné que si (c,,) est divergente : { Un) 1 est aussi.

Théorème T1. — i" Si l'on «, à pavlir d'un certain rang, -""^' ^ -^^ et si (('„) converge, il en est de même de (un)-

2" .S'/, au contraire. — ^^ ii -^^ et que {v„) diverge, il en est de

'' Il V ,t

même de {u,i).

En effet, on a, suivant le cas, en supposant toujours que le caractère se manifeste dès les premiers termes,

Uj^ ., »„-! ^ U„—2 .- < lh

ou bien

]1 suffit de prendre a = — pour être ramené an théorème T.

Les deux théorèmes précédents sont d'un usage courant. En voici un troisième, qui sert moins fréquemment, mais dont nous aurons cependant à faire usage.

Théorèmk III (Gauchy). — Si, à partir (V un certain rang\ les termes de la série {u„) sont non croissants (n" 39), cette série est de même nature que la série de terme général v„=. a" Ua", où a désigne un nombre entier cjuelconque plus grand que i.

i" Supposons (u/i) convergente. On a

Faisons successivement /^ :^ i , 2, ..., n et ajoutons, il vient

-)v,,iu„..<u.

Donc (iVi) converge (n° 41).

2° Supposons {lin) divergente. On a

D'où l'on déduit, comme précédemment,

(a — \)\,i^ Urt'.+.i — Va- 1 .

Or, Ua"+'^i augmente indétiniment avec 7i; donc aussi \ //.

43. Règles de convergence. — Des théorèmes précédents nous allons déduire des règles de convergence en prenant pour séries de comparaison des séries dont lélude directe est évidente. La première de celles-ci est la progression géométrique

On ])eut reconnaître immédialeincnl la naliiK' de cette série, parce qu'on possède une expression fort simple |)Our la sonnuc des // premiers termes, à savoir -^^ , si r/ 5^ i , et /i si 7=1, D'où d l'i'sullc

que (•) :

Si q <^i , la série converge et a pour somme ;

Si q^ f , la série diverge.

Si maintenant nous appliquons les théorèmes I et H du numéro précédent, en prenant pour série {v„) une progression géométrique, nous arrivons aux deux règles suivantes :

Piè:gle de Cauchy. — Si l'on a, à partir d^un certain rang^ V/'w« <C ^'' < ' 5 ^'-^ série est convergente; si y/«« > i , elle est divergente.

Cela résulte du théorème 1 (n" 42), en prenant r« ^ A" dans la première hypothèse et «'„ = i dans la seconde.

Application pratique. — On cherche la limite de \Ui,i, pour n infini. Si cette limite )> existe, on a les conclusions suivantes :

i" SiA<^ I, la série converge; car, à partir d'un certain rang, \ if,i reste compris entre A — z et Â-f- s, si petit que soit t: il suffît alors de prendre £ <C i — ^>, pour qu'en posant k = a -|- $, on se trouve dans la première hypothèse de la règle de Cauchv.

2° Si A> 1, la série diverge, car ^u,i finit par rester supérieur à I .

3" Si A= I, il y a doute; excepté toutefois si \^Ufi tend vers sa limite par valeurs supérieures, auquel cas il j a encore divergence.

Règle de Dalembert. — Si Von a., à partir rV un certain rang., -^^ ■< A" < I , la série est convergente; si — ^^ > i , elle est diver-

l'j, ^ lin ~

gentc.

Cela résulte du théorème II (n" 12), en prenant (•„z=A"" dans la première hypothèse et („= i dans la seconde.

Application pratique. — On procède comme pour la règle de

Cauchy. en cherchant la limite )> du rapport ""^' » Les conclusions

sont absolument les mêmes que plus haut et nous laissons au lecteur le soin de les énoncer et de les juslilier.

(') Nous admettons (iiic q" tend vers o ou -t- x, suivunt que ^<i ou >i, ce qui sera prouvé plus tard ( n" 8'2).

Haag. — Cours. I. A

5o CIIAPITRK IV

Rapprochement des deux lègles. — Le lecteur n'est pas sans remarquer l'analogie de ces deux règles. Effectivement, il existe entre elles une certaine dépendance : on démontre que si "^' a une

limite, \ iin admet la même limite. Mais l'inverse peut être inexact, comme le montre l'exemple de la série suivante

a^ ab -^ a^b -^ a-b'--^-. . . -i- a"6"-i-T- a"^b"^. . .. pour laquelle \ii,, a pour limite Sab, tandis que ""^' est alternative-

ment égal à a et à 6.

On voit donc que la règle de Cauchv est plus générale que celle de Dalembert, en ce sens que la première est toujours applicable quand la seconde l'est, tandis que la réciproque n'est pas vraie. Mais, au point de vue pratique, cette remarque n a pas grande importance et les deux règles se valent.