Série fondamentale—' — Après la progression géométrique

la série qui va nous servir de terme de comparaison est celle qu'on appelle quelquefois série fondamentale et qui a pour terme général

u,i^=- — 1 a désignant un nombre positif donné.

Appliquons-lui le théorème III (n" 42); nous sommes ramenés à la

série (',,= «"- = ( , laquelle est une progression aéomé-

tticjue de raison r- Donc, la série fondamentale est convergente

pour a >> I et divergente pour a^ i . Dans le cas particulier où a = i , on l'appelle la série harmonique.

Règle n'^Un- — i" Si le produit n'^u,, reste inférieur à un nombre fixe et si a est plus grand que i, la série (un) est convergente.

2'' Si le produit n'^Un reste supérieur à un nombre fixe non nul et si a est inférieur ou égal à i, la série [u,,) est convergente.

Gela résulte en etlèt du théorème I (n° 42) appliqué à la série [u„)

et à la série ('«= —

Application praliijue. — On essaie de trouver un nuiubii' a tri que n'ouït tende vers une limite A finie et non nulle, pour // infini.

sÉniES. 5i

Dans ce cas, la série converge ou diverge suivant (|ue a > i. ou a<i. Cela résulte, en effet, de ce que n^u,i finit toujours |)ar rester compris entre '/. -\- z et ), — î, i pouvant être pris assez petit pour que A — £ soit positif.

Si la limite A est nulle ou infinie, on nest renseigné que si a >> i dans le premier cas (la série est convergente) et si a^i dans le second cas (la série est divergente).

45. Les trois refiles que nous venons d'énoncer sont celles qu'on emploie le plus couramment et quil faut savoir appliquer sans hésitation. Il en existe d'autres, de moindre importance, auxquelles on a recours quand les premières sont en défaut.

Nous Citerons seulement la règle de Duhamel et la règle de Gauss.

Règle de DuJiamel . — Elle est relative au cas douteux de la règle de Dalenibert. Supposons que — — tende vers i par valeurs inférieures. Nous pouvons alors poser

le nombre a„ finit évidemment par demeurer positif. La règle de Duhamel est alors la suivante :

i" Si, à partir d'un certain rang, on a na,i'^ A>i, fa série converge ; 2" Si, à partir d'un certain rang, on a noL^^i, la série diverse.

i" Supposons na„>/>:>i. Pour établir la convergence de la série (««), nous allons lui appliquer le théorème IF (n"^^), en prenant pour série de

comparaison la série r,, = — j oîi — désigne un nombre fractionnaire quel-

'/ conque compris entre i et k. 11 nous suffit de prouver qu'à partir d'un certain

rang; on a l'inégalité

tn-»-l . Vn-t-\

c'est-à-dire

Or, celte inégalité est entraînée par la suivante

laquelle équivaut à

Le premier membre étant un polynôme en —, on sait ( n" 123) que pour — ' ' /i n

suffisamment petit, c'est-à-dire pour n suffisamment grand, son signe est celui

de son terme de moindre de2;ré en — , cest-à-dire. d'après la formule du binôme,

celui de la quantité —(kq — p). Comme celle-ci est positive, puisqu'on a pris

— -< /, la première partie de notre règle est démontrée.

2" Supposons «a„£i. Appliquons encore le tbéorème II (n"42),en prenant

Vn^= - • On a n

car cela revient à a„ 5 - • Donc la série est divergente.

Application pratique. — On cherche la limite K de /ia„. Si X> i, il y a convergence; si X < i, il y a divergence ; si }. = (, il y a doute, sauf si la limite est atteinte par valeurs inférieures, auquel cas il y a encore divergence.

46. Règle de Gauss. — Supposons que le rapport "^ se [)résente sous la forme d'une fraction rationnelle en «, soit :

Un^\ Ao/î/'-f- A, /2/J-' -i- A^/i'-''"- — . . . lia ~ Bo/i'/ -K Bi «'/-i — Bj/J'/ - -T-. . .

La règle de Dalembert nous montre immédiatement que, si /> > </, il y a divergence ; si /) << 9', il y a convergence ; si /> = ^, il y a convergence ou divergence, suivant que - — < i ou > i. .Mais, si Ao= Bo, il v a doute. La règle de Bo

Gauss est alors la suivante :

Pour que la série soit convergente, il faut et il suj/ii qu'on ait Bj — Ai> 1, en supposant, ce qui est évidemment permis, que la valeur commune de Aj et Bo a été ramenée égale à l'unité.

Appliquons, en eiïet, la règle de Duhamel. Nous avons

r H , — A , "1 // /' -J- ( Bo — A., I /j /'-' — .. . n a,, =

ni' —^ Al /;/•-'

Cette fraction rationnelle a pour limite F^i — Aj ; donc, si Bi — Ai>i, la série converge; si B, — Aj < i, elle diverge. Il n'v a doute que si Bi — Aj = i. Mais, nous allons montrer directement que, dans ce cas, la série est encore divergente. Pour cela, nous allons lui appliquer le théorème II (n" l'a), en prenant

«•„= -j À étant un nombre fixe que nous déterminerons tout à l'heure.

Comme la série (t'«), qui est comparable à la série harmonique f théorème Ij, est divergente, il nous suffit de prouver qu'on a, pour n suffisamment grand,

ou, après des calculs élémentaires,

( B, — Ao -f- X — Al ) n/'-i -^ , , . < o,

les termes non écrits étant de degré inférieur k p — i par rapport à n. Or pour n très grand, le premier membre garde le signe de son premier terme (n" 123); si donc nous déterminons À par la seule condition d'être inférieur à Ai-T- Ao — B-i, nous serons certains que l'inégalité finira toujours par être vérifiée.