Mêmes ([uestions pour une chaînette

CHAriTRE W.

ÉOUVTIO.NS DIFFHRIiNTIELLES.

EXERCICES RÉSOLUS

1. Chercher les séries entières <jui vérijient l'équation différentielle

Soit

y^ «o-i- «1^7-!- «2^72 -4-... -h «„:r" -}-..., — otâ

jk' = ai-f- '^«2^ -+- ^as-ï"- -)-..--f- ««/j^''~' -T--.-5 Y — (a -^ 3 -f- i)j7,

j>-"= 2«2+ 6«3-^ -1- -^ n(n — \)aaX'^---^..., x(\ — x)^

Multiplions par les coefficients indiqués à droite et ajoutons; nous devons obtenir une série entière identiquement nulle. Animions le coefficient de d:",

— a,âa,j-i- y(« -t- ij««-*-i — l'x-r- 3 — I i/irt„M- (rt -f- i)/irt„Hi — n(/i — i)rt« = o, ou

(■ 2 ) «„4-i ( /l — 1 j ( /i -4- Y ) = «-'n ( rt -i- a ) ( /i -H p ).

A cause du facteur n + y. il nous faut distinguer deux cas :

Premier cas: y n'est pas entier négatif, ni nul. — Alors n + y ne s'annule jamais et l'on peut écrire

(oL^ n)('^-¥- n) ii-T-n){'(-^ n)

I)"oi'i l'on déduit ( \ote I ), en supposant r/„ ■ 1 ,

af-/-^ i)...^a-4-/* — 1) 3C3-M)...(3-^n — 1)

La série cherchée est donc, à un facteur constant arbitraire près

ÊlIlATlONS DIFFÉRENTIELLES. IO7

(valeur de r/o).

a(a — r)...C a -^/j — 1)3(3 -T- !)...( 3 -T-» — Il „

Elle est connue sous le nom de série hypergéoniétrique de Gauss et joue un rôle fort importanl dans de nombreuses questions d'Analyse. Son intervalle de convergence est ( — i, -t-i), comme le montre la règle de d'Alembert ( ' ).

Deuxième cas : y est un entier lo. — Soit y =: — p (p-o).

Si, dans la formule (2), on fait n^=p, on obtient «,,= 0. En faisant ensuite successivement n =z p — i, /> — 2, .... i. o, on trouve que les /J H- I premiers coefficients sont tous nuls (-). Si l'on suppose ensuite /« ^ />-!- 1 ./->-:- 2, .... on peut calculer les coefficients cip^,, cip^s. ... en fonclion de r/^,^,. lequel demeure arbitraire et peut être pris égal à j . en négligeant un facteur constant. ' )n obtient de la sorte la série

( y. ^- p -\- 1)Cj -r- p — l)

On peut l'écrire

(6) y = xP+^z,

z désignant ce que devient la série (4) si l'on y remplace a par y.-^ p-^\, p par p -\- p + i, y par i -1- /? -r- r .

On peut d'ailleurs arriver directement à ce résultat, en faisant le changement de variable défini par (6). D'une façon générale, si l'on pose

(7) r = .r'-T-, l'équation (i) se transforme en la suivante (■*),

('■) On trouvera quelques propriétés de cette série dans Leçons ( n° o5i). (') Ceci suppose toutefois qu'aucun des facteurs (n-r-a), (w -H ^) ne s'annule, condition certainement réalisée si les nombres a, .^ ne sont pas des entiers ;:,<). (') Le lecteur est prié de faire les calculs, qui ne présentent pas de difficultés.

io8 <:ii.\i'mu; \\.

qui se déduit de (ii par le cliaiii;einenl de y. en y. -^ \ — y, de jS en ,3 -h I — y et de y en 2 — y.

En supposant y = — /^, on a 2 — ^ y ^ 2 4- /; >> o ; on se trouve dans le premier cas et l'on retrouve bien la formule (6).

Remarque. — Ainsi qu'on vient de le voir, les séries entières qui vérifient l'équation (i) ne dépendent que dune constante arbitraire, qui rentre comme facteur. Or, nous savons (n° 18G) que Tintéirrale générale doit dépendie de deu\ constantes. Ceci nous prouve que certaines intégrales de certaines équations différentielles peuvent ne pas être développables suivant les puissances croissantes de ce. En conséquence, la méthode de résolution des équations différentielles signalée au n° 18G peut, dans certains cas, ne pas être applicable ou ne l'être que partiellement (comme c'est ici le cas), c'est-à-dire ne donner que des intégrales particulières.

Pour terminer, observons que, dans l'hvpothése où y n'est pas entier, la formule (4); combinée avec la formule (j), donne l'intégrale générale. Mais celle-ci renferme alors un développement à exposants fractionnaires.

dx dy

\/ a — -1 Ox — x- \l a — 1 by — )- Les variables sont séparées (n° 188); d'où l'intégrale générale

/" d.r r ay

(i) 1 — ^^^^^^== = I -;- const.

J \ a — ihx — x- j \/(i

dy

ou, en effectuant les quadratures par la métliode de réduction ( n" 1G8),

(1) arc sm — ^= arc sin ' 1- const.

II semble, à première vue, qu'on obtient une intégrale transcendante. En réalité, la relation entre x: et y est algébrique.

Appelons, en effet, y. et 3 les arcs sinus du premier et du second membres. Nous avons

Ci) a — ^ = con«l .

(,f\) siii ' 7. — [î j = sin a cos[i — sin 3 ces a = consl..

EQUATIONS DIFKKRENTIKLLES. I09

OU

( 5 ; ( j:- — 6 ,1 \Ui — 1 by — y- — i y — h ) \' a -r- ib x — x- = const . = C.

C'est bien là une relaLiun algébrique. On peut d'ailleurs la rendre rationnelle. Si Ion pose, pour sinaplilîer Técrilure,

(6) X — 6 = X, y — 6 = Y, a—'b-=m. on obtient, par deuv élévations au carré.

Les courbes intégrales sont du liuilième degré.