Etant donnée l'équation

dHJ d'-V âH] àx- ' Or- dz- '

déterminer les solutions de la forme

26. Déterminer les solutions de la forme U =y(^/j;"- -h j- -h z'-) pour Féquation

dx- Oy- Oz-

On posera U = — ^' /' = y/^'' + J" + ^-.

POLYNOMES.

EXERCICES RÉSOLUS

l. Diviserle [jolyjiome

■xx' — "ix^-^-i'M — i)x^-^ {i -r- \)x'* — ' x^-^ ^x- — lix — 4 + -î * par

X'^ — 2 x- -{-'Mx -\- \.

Nous disposons les calculs de la manière suivante :

ix'' — 3a7«+(3j — i)x^-+- ( i^^)x'* — ';x'^-\-^x- — -i-ix — 4-1- 3j 1 x^ — -xx'^-h 'Mx -\- \

— 'Mx'" — 1{ i-\--i)x'* — 1 1.27^-1-4^" — '^i^ — ■{+ ^i '

— \{'i.i-i-\)x'*—-20x'^-\-^{\-^'ii)x'^ — lix — 4-+- 3t

— 4('î^'+ 1 9) 3c~-^-i( 571— I G )a: -i- I oS -)-()7 i

■4('-iî+i)a?— 4(4t-i-7)

Le quotient est inscrit au-dessous du trait horizontal de droite. Les restes partiels successifs sont écrits sur les lignes de gauche, au-dessous du dividende. Le dernier est le reste de la division, qui doit donner lieu, dès lors, à l'identité

ix' — "ix^-^-iZi— 'x)x^-{- ( i -^ ^)x'* — -^x^-^- ^x"^— -xix — 4 + 3/' = (iP* — IX- -\- "à i X ■+■ ^){-2x'* -\- X'^ — 'Mx-— !^{^2.i-\-l)x — 4(4^ + 7)] — .\{:>.i ■+- i9)./'2-|- 'ii't'j i — iQ))x -\- 108 -I- 67 t,

dont la vérification constituerait une preuve de la division.

(Conseil pratique. — Il devient rapidement pénible de faire mentalement le calcul des coefficients des restes partiels. Aussi, conseillonsnous au lecteur d'effectuer lesdits calculs sur une feuille de papier séparée, comme d'ailleurs, dans la résolution d'un problème quelconque, il convient de le faire pour tous les calculs auxiliaires, afin de ne pas noyer les résultats principaux, qui servent de jalons dans la marche à suivre.

2. Diviser 2 h- j? — x^ par \ -\- Zx — x''- — x'* suivant les puissances croissantes de x, en s'arrctant au premier reste qui renferme x''' en facteur.

La disposition des calculs est la même que précédemment :

ï^jX- — 6^7"

(3n a l'identité

•1 — 'iX-\- i~x- — 5~x^-i- Kjox^ — 63> JT*

2 -4- X — ./;3 = ( I -f- 3.r — .X-— ,r*)(2 — 5.r -I- 17.'-— 5-x^-h 190. z'^— 632.r5) -i- ./;8(2io3 — 689./; H- I90.r2 — G32.r^).

3. Diviser sin 9 par 1 — ixcosO-h^'- suivant les puissances croissantes de X. (Cf. Leçons, t. I, p. 161.)

Le premier terme du quotient est sin 9. Le premier reste partiel est

R, = .rsin2 0 — .r'-sinO.

Le deuxième terme du quotient est j? sin 2 9. Le deuxième reste partiel est

R2= .r2(2 sin20 cos6 — sin 6) — .r^ sin 2 6 = .r2(sin3 6 + sin 0 — sin 0) — x-i sin2 0 = ./■■- sin 3 6 — ,t' sin 2 0.

Le troisième terme du quotient sera .17-sin 3 9 et l'on devine que, d'une manière générale, le n'"'""^ terme doit être ar"~'sin/?9, et le «""""' reste partiel

(i) Rn= i" sinfn -f- i)0 — .r«+i sinnO.

Pour le prouver, raisonnons par récurrence. Admettons ( i ). Le (« -h i)'ème terme du quotient sera a:"sin {n -f i) 9 et le reste correspondant

R„^, = R„ — .;•« sin(n -l- i)0(i — 237COS0 -4- x^)

= ./•"-'-' [2 sin(rt -I- i)0 cosO — sin nO] — .r'«+2 sin( n -f- 1 )6 = ./•«+> [sin(rt -h 2)0 -i- sinnO — sin «0 J — ./"-*-'- sin(/i -i- i)0 = ./;«-+-• sin ( rt -4- 2 ) 6 — x"+^ si n ( « -(- 1 ) 0,

ce qui est bien l'expression déduite de (1) en changeant n en « + 1.

On a donc, quels que soient n, .r, 0,

(2) sinO = (i — î.r cos6 -+- .r2)(sin6-|- .r sinaO -+- .v- sinSO -!-...-{- .r"-i pin« 0) -4- a"«[sin(/i -;- I )0 — ./■ sin « OJ.

Autre méthode. — On peut arriver au même résultat en décomposant

la fraction -r^ en éléments simples (Ghap. XVII). On a

(Cliap. \'II; exercice résolu n° 2).

,<.. si» 9

I — ■->. ./' cos 0 -+- ./'"- 2 i \ j- c'^ X e "'"

Divisons i par ^- — e'^, suivant les puissances croissantes de œ. Nous écrivons (n° 203)

Puis

• I f f. r c^'lih

.re '" " •• • . ,,,. (>-/(j

I o (>—tiïb

Changeant i en — /, nous avons

Ajoutant et portant dans (3), en tenant compte des formules d'Iiuler (n° 109), il vient

siiiO

( 4 ) 7 r = sin 0 -+- .1- sin ■>. 0 -!- ,/,'- si n 3 G -(- . . .

i — 'A.r: cosO -t- .r^

+ .r«-i sm n 0 H ! — ; -r •

•ii{i — -.i ./• cos 0 H- ,r2 ^

Le crochet est égal à

etn+i)i'i e-(«+i)/9..,.(e«/0 e-«(0) = •,if[sin(« -f- i)0 — ./•sin«0].

En reinj)laçarit dans (4), on retrouve bien (2) divisé par

1 — ix cos 0 -1- X- .

l'OLYXOMES. 125

Remarque. — Si, clans l'idenlilé (2), on fait x=i\, il vient

si n 0 -i- sin 2 0 -+-...-+- sin// 0

>iii') — 2 sin - cos 2 '

4 sin- cos cos [n~\--

2 sin -

. n H- I ., . /j 0 sin IJ sin

sin -

formule bien connue, que nous retrouverons en trigonométrie (').

k. Calculer la valeur du polynôme x^ — 8^?"+ i 1 x^ -\- x'" — x--\- 2, pour X ^= 6.

Nous formons le reste de division par x — 6 ( n" 203).

.jc^ — 8 x' -\- 1 1 .t:^ -4- .r5 -t- o . .r* + o. .v^ — x- -H o . ,r 4- 2 , I, — 2, — I, — 5, — 3o, — 180, — 1081, — 6i86, — 38914.

x\ous avons écrit les coefficients successifs au-dessous des termes correspondants du dividende, complété là où il y avait lieu. Le reste, c'est-à-dire / {&), est le dernier nombre obtenu, c'est-à-dire — 38914.

o. Calculer la valeur du polynôme

pour X = — -•

Nous divisons par i + Sa*, suivant les puissances croissantes de x^ en

nous rappelant que le reste égale ( — '^Y f \ — ij ) ' quand on a épuisé

tous les termes du dividende ( n° 20i) :

2 3 7 — 8 55 — 334 Donc

G. Calculer le p. g. c. d. et le p. p. m. c. des deux polynômes

.rs -I- 3 .r* 4- 3 .r^ 4- 7 ,/•- -H 5 .;; -4- i et x'* -(- 2 .v^ — 3 x- — f\x — i .

(') Cf. Chap. VII, exercice résolu n° 7.

Clierclions d'abord le p. g. c. d. On dispose les calculs comme, en aiiliiméliqiie, pour le p. g. c. d. de deux, nombres entiers; c'est-à-dire qu'on écrit les quotients successifs au-dessus des diviseurs, qui doivent, tour à tour, servir de dividendes.

Remarques pratiques importantes. — I-.e reste de la première division n'a que des coefficients pairs; nous l'avons divisé pars avant de le prendre pour nouveau diviseur. Gela ne faisait que doubler le quotient de la deuxième division, sans changer son reste, tout en simplifiant les calculs. La deuxième division avait alors pour premier terme ix^, ce qui devait introduire, dès le début de la division, des coefficients fractionnaires. Pour éviter ceux-ci., nous avons multiplié le dividende par 2, ce qui doublait le reste. Nous avons répété la même opération sur le premier reste partiel, ce qui doublait encore le reste. Enfin, nous avons changé le signe du dernier diviseur. Ces modifications n influent pas essentiellement sur le p. g. c. <-/., car elles ne peuvent que le multiplier par un facteur constant. Or, au point de vue de la divisibilité, il n'y a évidemment pas lieu de distinguer deux, polynômes de rapport constant.

\ox

.r'^-hoX-T-i

Le p. g. c. d. est .ï- + 3 .r -h i .

Pour calculer le j). p. m. c, formons le ([uolient