III. — SÉRIES A TERMES QUELCONQUES
47. Convergence absolue et semi-convergence. — Occupons-nous maintenant des séries dites à termes quelconques^ pour lesquelles le terme général n arrive jamais à garder un signe invariable el qui renferment par conséquent une infinité de termes positifs et une infinité de termes négatifs.
Pour ces séries, il v a lieu de distinguer deux manières très différentes d'être convergente. On v est conduit par la considération de la 5^/76 des ternies positifs et de la série des termes négatifs. D'une façon précise, parmi les n premiers termes de la série proposée, il existe p termes positifs u\, ?/,, ..., u et q termes négatifs — u"^., — m", . . ., — u" . Soient S„ la somme des premiers et — S^ la somme des seconds.
Cela posé, supposons que Ji augmente indéfiniment; il en est de même de /> et q. Il peutniaintenant se présenter trois circonstances :
i" Les séries à termes positifs {u ) et {u") sont toutes deux convergentes. Dans ce cas, lorsque u croît indéfiniment, S' et S^' tendent respectivement \ers les limites S' et S"; donc la somme S,i= S„ — S" tend vers S' — S". La série {Un) est donc convergente; on dit quelle est absolument convergente.
2" Les séries (u') et («'') sont toutes deux divergentes. Les sommes S' et S^ tendent toutes deux vers +• oc; mais, il peut se faire néanmoins que leur différence S^ tende vers une limite déterminée. Dans ce dernier cas, on dit que la série {11,1) est semi-convergente.
3° Une des deux séries (u') et {u") est convergente ; Vautre est divergente. La série {un) est alors divergente.
Ln procédé commode pour reconnaître la convergence absolue consiste à considérer la série des valeurs absolues, qui est obtenue en changeant le signe de tous les termes négatifs. Si ]S„ désigne la somme de ses n premiers termes, on a évidemment Ï,;=S' +S". On voit que c'est seulement dans le premier des trois cas précédents que cette somme possède une limite finie.
Donc :
Théorème. — Pour (jaune série soit absolument convergente, il faut et il suffit que la série des valeurs absolues soit convergente.
La reclierche des séries absolument convergentes se ramène, comme on le voit, à l'étude des séries à termes positifs. Il est, au contraire, quelquefois très difficile de prouver qu'une série est semi-convergente.
48. Séries alternées. — On appelle ainsi toute série dont les termes sont, à partir d'un certain rang, alternativement positifs et négatifs ('),
Théorème. — Si le ternie général dune série alternée tend vers zéro, et si sa valeur absolue finit , à partir d'un certain rang, par n'être pas croissante (-), la série est convergente.
Supposant toujours que les caractères se manifestent dès le piemier terme, considérons la série
Uy— 11-2-+- »3— Ui-h...— (— l)"-Ul„-h. . .,
où les u sont des nombres positifs non croissants et tendant vers zéro. On a
(') On peut rcconnailre ce caractère au moyen du lapporl — ^^ (|ui doit liiiir par rester néj^atif.
(-) On peut dire aussi que le rapport — ^^ doit finir par rester compris entre o et — i.
SÉIUES. 55
En outre,
S.2„ = «1 — ( ?/2 — K.i ) — ( U; — U:;)~. .. — ( Uin-2 — l'iri- I ) — »2« < «1-
Donc, quand /i croît inJéliniuient, So,^ tend vers une limite S ■< M| (n" 39, théorème I). De même
et
^2/1 + 1 = (111—112)^(113— Ih) -^- ■ .+ («2«-l— "2n) -+- "2«+I>0.
Donc, So„,| tend vers une limite S'>-o (n'' 39, théorème I). Je dis maintenant que S = S'. En efifel, on a
ce qui donne, à la limite (théorème I du n° 38),
On voit linalement que, quelle que soit la manière dont n augmente indéfiniment, S„ tend vers une limite S positive et plus petite que Ui .
Le cas où la série commence par un terme négatif se ramène au précédent; la somme S est alors négative et plus grande que le piemier terme. D'une façon générale, on peut donc dire que la somtne de la série a le signe du premier terme et lui est inférieure en valeur absolue.
Un exemple classique est celui de la série liarmonicjue alternée
