Calculer le résidu du pôle Jc =: — '?. dans la fraction

.rS-H 4.rS — ./• — 5 ( .r -h 2 )'* ( .1: — I )-^ ( ./■ H- 3 )-

(.r-(-2 =;:; négliger dans la division les termes en z de degrés > 3).

6. Trouver le polynôme de degré minimum qui prend les valeurs 1,2,3, . . . , n pour j' r= 1 , 2. 3. . . . , n, ou bien pour a: =z n, n — i . . . . , 2. I.

(Dans le premier cas, on pourra comparer le résultat avec la solution évidente jK := j? et en déduire des identités arithmétiques.)

7. Connaissant les restes de division d'un j)olvnome par a- — a, X — b. . . . , wC — /. calculer le reste de division par le produit

[Si n est le nombre des diviseurs linéaires donnés, le reste cherché est le polvnome de degré n — i qui prend les valeurs connues

/(«), /'*;. •••. /</,»> pour .r = «, ^. .. ., /.]

8. Etant donnés n nombres distincts a. h. .... /, et un nombre naturel p'in — 2, on a Fidentilé

al' fjP

II'

(S'appuyer sur ce que la somme des résidus d'une fraction rationnelle est nulle, lorsque le degré du tlénominateur surpasse de deux unités au moins le degré du numérateur.)

0. l'>lant donnée l'équation du troisième degré en /. ,2 yz ^2

FRACTIONS KATIONXKLLES. iSj

on appelle À), )..>, /s ses racines. Calculer .r-, y-, c- en fonction de À,, )..> et 7.3, ainsi que

■ri -4- v2 -I- -î

{a'-^X^y- (b-^^K^yi (c2^A,/2 -^

Partir de l'identité en ).

a2 i X b^-hl ■ c--;-X ( X ^ a"^) (a -h é^) (X -f- c^;

Pour calculer ^^, j'-, z-, décomposer le second membre en éléments simples.

Pour >r--|- y-H- ^-, développer suivant les puissances croissantes de et égaler, de part et d'autre, les coefficients de -•

S ^'2 - — :; r— — - — ;— -, on pourra retrancher les égalités obtenues (a2-r-Xi)(a-2-(- X2) ^ *=

en remplaçant successivement À par /.[ et /^ dans (i).

Pour X — r- — ^ — r' dériver (2) par rapport à X et faire '/.=^}.,. en

O («■--+- Al r-i \ ^ f ff

observant que le second membre est de la forme (). — }.i)/(X).

Pour dx- ^ dy- -\- dz- ^ on calculera dx, dy. dz en prenant les difiérentielles logarithmiques des expressions trouvées pour :r-, y-, z-. On s'appuiera ensuite sur les valeurs de

0(ai-T- A,)^ ^^ 0{a'-—l^)ia-^—Ki)'\