PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES

EXERCICES RÉSOLUS

i . Soit l'équation j;* H- ajc^ -\- bx' -h ca; -h d =: o .

i" Chercher la condition pour que le produit de deux de ses racines soit égal au produit des deux autres. Résoudre l'équation dans ce cas.

2° L'équation étant supposée quelconque, on lui fait subir la transformation x^=y-\-h. Déterminer h pour que l'équation en y satisfasse à la condition précédemment trouvée. En déduire une méthode de résolution algébrique de Véquation du quatrième degré.

1° Soient a:,, .2;.,, x^^. x,^ les quatres racines, supposées telles que x^x^^^ Xi,x-^. Elles sont partagées en denx groupes symétriques (.rj. x=i) et (.2:^3, .374), ce qui nous incite à poser (')

(1) .ri4-.r, = /?, ,^1.^2 =5', ,/:i-i- .r^rr/)', x^x,^= q' .

La condition imposée s'écrit alors

tandis que les relations entre les coeflicienls et les racines j)rennenl la forme

(4) <i-^q'-^rp'= ^)

(-3) pq'^qp' = ~c,

(6) qq'= d.

il faut éliminer /j, q. p' , q' entre (2), (3), (4), (5), (6), ou p,p', q (') Voir la iiole de la pa;;c jSa du Cours.

PROPRIÉTKS OÈNKRALES DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES. I Sg

entre

(%) PP -^ 27 = b,

Si l'on lient compte de (7), (9) donne

Portant dans (10), on a la condition cherchée

Si elle est remplie, (11) donne q\ de (7) et (8) on tire ensuite p -\- p' et pp'\ d"où p et p' par une équation du second degré; puis ^r,, .r, et x^. J7; par deux nouvelles équations du second degré.

Pœinarque. — On aurait pu aussi trouver les relations {7) à (10) en identifiant l'équation proposée avec la suivante

{x- — px ^ q) ( X- — p' X -^ q ) = o.

2° Si l'on désigne pary(j:) le premier membre de l'équation proposée, Téquation en y s'écrit

OU (n" llo)

(.3) fUi)^yf'ih)~y^-f^^y^-f^-^y-*=o.

Ecrivons, pour elle, la condition (12)

( 4 /i' — 3 <7 A- -f- '.> hh -h c j- — ( i h -h a »- ( h'* — ah^ -^ bli- — ch -+- d) = o,

(i5) /(3( 8c-!- 4 aô — «') -H //■-( 4 6^—5! ac — 16 rf—rt- 6)

-H A ( 4 bc — 8 ad — a- c ) -f- c- — a-d = o.

Il V a donc trois valeurs de A ré|)ondnnt à la question. De plus, on voit qu'on peut ramener la résolution de toute équation du quatrième degré à celle dune équation du troisième degré suivie de celles de trois équa-

lions du second degré. D'une façon plus précise, avant formé l'équation (i5) en h, on en cbercliera une racine. En la portant dans (i3), on obtiendra une équation en r résoluble par la métbode indiquée dans 1°. Avant les racines de (i3). on aura celles de l'équation proposée, en ajoutant à cbacune d'elles la valeur précédente de h.

2. Étant donnée l'équation œ^ -^ 3.r- — x — 7 ^=0, calculer la somme des sixièmes puissances de ses racines.

Nous pouvons nous ramener aux sommes des deux premières puissances (•), en divisant x^ par x^ + 3.c^ — x — 7; ce qui nous donne l'identité

ar*î = {x^-^ Zx' — X — ") (x-^ — 3a7--f- \ox — 26) -t- 673-2-+- ^\x — 182.

La somme demandée est donc égale à 67S2-I-44S1 — 182, en conservant les notations du n° 224-. Or,

Si=— 3.

Puis,

Finalement, la somme cherchée est égale à

3. Calculer la^b'-c-, pour l'équation x'^^ix"- — .3: 4- i = o. — On a, par exemple (n° 223),

S3 E «2 li = (' rtS -^ ^,3 i c^i H- C?' j ( «2 62 ^ rt2 cl — «2 d"^ 4- h"- C2 -(- h"- d"- -H C2 d- )

= "La'^ b- -\- I.a^ b- c-, d'où

Puis,

(82)2= (a2^^2^c2-4-rf2j2= Si-4-2i:a262;

d'où

(2) l«2/,2= i(S2-Si).

Enfin,

855,= S-.^la-^b^,

d'où

(■'j Voit- la noie de la page 2ÎS9 du Cours.

PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES. l4«

Portant (2) et (3) dans (i), il vient (4) ^a^b^c^= ISsiSI-Si) — SsSo+S:.

Il nous faut calculer S,, S3, S;, S5, S7. Employons les formules de Newton (n° 22i) :

Si = o,

So-î- 4 = 0,

Ss-r- 2S1 — 3 = o,

54+282^ Si-i- 4 = o,

85+283 So-H S, = O,

Sg-^ 284 — 83-4- 82= 0, 87-1-285 — 8i-f- 83= o; d'où

Portant dans (4), il vient

'La^b'^c- = — I.

Autre méthode. — On peut encore écrire {cf.. n'^ 223. remarque III),

81 8-2 ^ 8-1 -:- Z a6^-, d'où

Za6-2= 818-2— 8.-1 = — 8-1.

D'autre part, S i e>l la somme des racines de l'équation aux inverses (n° 242, III) : y* — y^-f- 2 v^-h i ^ o; c'est-à-dire que S i=i. Finalement,

'La^b-c-=^ — I.

On voit que cette seconde méthode est beaucoup plus rapide que la première.

i. Calculer A =3 (a — b)'{l> — c')'(<^' — <^)'^ pour l'équation

x^-\- px -h ^ = o.

On peut faire ce calcul en décomposant A en groupes symétriques. Nous conseillons au lecteur d'employer cette méthode, à titre d'exercice.

Nous allons nous servir ici de la méthode des coefficients indéterminés

( n" 225). Le degré de A en p et r] est au plus égal au plus fort exposant de (7, c'est-à-dire 4. Le poids est égal au degré d'homogénéité de A en <7, A, c, c'est-à-dire 6. Si l'on se rappelle que les poids de p et q sont •a et 3. les seuls ternies possibles sont des teimes en p^ et rf-. Donc

Pour déterminer les coefficients A el B. prenons d'abord a z=z b ^= \ , c = — 2 ; nous avons

A = o, />= — 3, ej = 2,

d'où l'équation

Prenons ensuite </ := o, /> j= — i ; d'où

a = o, 6=^1, c = — r, A=:4, d'où A= — 4-

Portant dans (2), on a

Finalement,

o. Trouver lesco?iditionspoui que Véquation x'^ -\- mx* -\- nx- -^ p=:o ait une racine triple.

Une première méthode consisterait à éliminer .r entre les trois équations (n° 226)

(2) f'{x)^= 5.r*-l- f\inx'^-^ 'inx =^ o.

(3) f" (x) ^ "iox^ -\- ixmx- -{- -m =0.

Mais cela semble devoir donner lieu à des calculs pénibles.

On pourrait aussi, el c'est beaucoup plus simple, éliminer ^ entre (3 ), f",.y^o,/y!=zo. Nous conseillons au lecteur de faire ce calcul.

Voici une troisième méthode, qui est encore plus rapide.

Si (1) possède une racine triple, (2) possède une racine double. Or, l'équation (2) se décompose en x ^= o et

( 4 ) ')X^-i- /[ ni .7-2 -1- 2 « = 0

Pour que X = o soil racine triple île ( 1 1, il faut que / (x) contienne .î '* en facteur, ce qui exige p:^n:=^o; au(|uel cas, zéro est racine quadruple.

Celle solution banale élanl écartée, écrivons (pie (4) <> une racine

PROPRIÉTÉS (iKXKRALES DES ÉOIATIONS AIX.ÉBRIQLES. l43

double. Celle racine doil satisfaire à l'équalion dérivée

I j j'--r- >< mx = o.

Gomme nous supposons a-^o, la racine cherchce esi nécessairement jc zzz — —. — Si nous écrivons qu'elle vérifie (4) puis (i), nous aurons les deux condilions cherchées

S^î ,Si S^ /2 \ 4 82 ,

2 tl = ) X —rr; m^ — ( X —^ m^ = i X — :- W.^ t7 — I = — - X —— ni^ . 13* IJ- IJ- \3 / J 10-

(o) ,1 =— - ~r-;ni^

^ 1 j- \ I yi 1 yi 3 I j-i

i )* \ I J 3/ 5 II*

Afin de simplifier l'écriture, il convient de poser

8 m i5 On a alors

ni = , n = - a^, p = — tj*^"'

de sorte que Véqaation la plus générale qui soit de la forme {\) et qui possède une racine triple non nulle peut s'écrire

, . .. là , 5 , 3 .. (7) x" ax*-\--a^x- — -«■•=<).

où a désigne une constante quelconque, qui n'est autre que la racine triple.

A priori, (7) doil être divisible par (.r — a)'^. Elfectivement, si l'on fait la division, ou trouve un quotient exact égal à

x'--^-ax-^ g«--

Les racines de {r ) autres que la racine triple sont donc données par l'équalion

(8) .r- -t- •7«.r -+- - rt-= o.

Elles soûl imaginaires.

l44 CHAPITRE XYIII."

6. Déterminer m pour que l'équation mx^ -\- ni-x- -ir x -\- niz=: o ait une racine double.

Les équations dérivée el dérivée par rapport à la variable d'homogénéité sont

(i) 3ma72+ am^a; -h I = o,

(2) ni^x^-^-ix -^"im = o. .

Eliminons x ( n° 23i)

( 9 /?? 2 — m- )2 — (6 m — -x ni* ) ( 6 m-' — 2 ) = o.

On peut diviser par /n, qui ne saurait manifestement être nul. Il vient alors, en posant m^:= u,

64 M — 4(3 — «)(3a — i) = o; ou

doù

Si m possède cette valeur, la racine double de l'équation proposée est la solution commune à (1) et (2). Elle vérifie

c'est-à-diie x^i. L'autre racine est donnée, par exemple, par le produit des trois racines, qui est — 1 ; elle est donc égale à — i .