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à laquelle s'applique visiblement le théorème précédent. Cette série est d'ailleurs semi-convergente, puisque la série ( — j est divergente (n° Aï).

49. Théorème d'Abel. — Etant données une série {u,l). dont la somme des n premiers termes et un module borné supérieurement, et une suite infinie (a,i) de nombres positifs, non croissants et tendeint vers zéro, la série (a,iUn) est eonver^'cnte.

Soient S„ cl il„ les sommes des n premiers termes de (w«) et {anU,,). Cal-

culons 1„ en fonction de Si, Sa, . . -, S„. On a

5„ = «1 »i-t- rt,"-:-^- • •-+- aniin= ai S, -f- «2 ( 8-2 — Si) -h. . .-h a„(Sn — S„i), ^/j = («1 — «2)Si + («2 — «jjSa-f-. . .-H {a„-i — a„)S„i-+- «„S„.

Considérons la série de terme général v„=(a,i — an+i) S,, ; si V„ désigne la somme de ses n premiers termes, on a

-«= V„iH- <7„S„.

Comme a„S„ tend vers zéro, puisque a„ tend vers zéro et que | S^ | reste fini, il nous suffit, pour démontrer le théorème, de prouver la convergence de la série (i'„). Or,je dis que celle-ci est absolument convergente. En effet, soilV,, la somme des n premiers termes de la série ( ] ^'„ | ). On a

^'k= («1— «2)1 Si I + (a,— «o)| S2I -f-. . .-!-(«,,— «,,+i)|S„|,

puisque les difierences ai — «2, «2 — a-^, ... sont toutes positives ou nulles. Donc, si A désigne la borne supérieure de | S„ ], on a

V;< A[(a] — a2) + (a2 — «3)+...-+- («„ — «„+,)] = A(a, — a„+i)< Aai-

De là résulte bien la convergence de la série ( | <'/z | ), d'après un théorème du n° M.

Application. — Prenons u„^( — 1)"~'^. La somme S„ est égale à i ou o, suivant que n est impair ou pair; elle est donc bornée supérieurement et inférieurement. En appliquant le théorème d'Abel, on retombe sur le théorème des séries alternées.

Séries trigonoinétriques. — Prenons maintenant Un^^ cos«6, 0 désignant un arc quelconque donné non multiple de air. On a {Exerc; Ghap. VII, exercice résolu, n° 7 ).

S„ = cos 0 -t- cos i 0

cos n 0

Donc

sin -

Il en résulte que si les nombres positifs a], a», vers zéro, la série

«1 cosO + a2 COS2O -+- . . .-t- a„ cosnO

décroissent et tendent

est convergente.

SKRIES. 57

De même, si les nombres i,, h-,, ... décroissent el tendent vers zéro, la

séi'ie

/^ 1 si n 0 -I- 6., si n •>. 0 -4- . . . H- ^„ si n /i 0 -i- . . .

est convergente et. par suite, aussi la suivante

(oi cos 0 -^- ^1 sin 0 j -i-(a2 cos'2 0 -f- ^osinaO) -r-. ..-h(a„cosnO -f- i„ sinrtO) ^. . -.

Une telle série porte le nom de série trigononiétrique ou série de Fourier. Les séries de cette nature jouent un rôle très important dans l'étude des fonctions périodiques (n" 66) et aussi dans certaines questions de Physique mathématique.

oO. Séries imaginaires. — Tout ce qui esl lelalif aux séries à termes quelconques peut s'étendre, sans aucune difiiculté, aux séries à termes imaginaires. Soit la série de terme général Un^ o.n+ ^ni-, où an et bn sont deux nombres réels. Par définition, la série (w«) est convergente si les deux séries (a„) et {b„) le sont. Si l'on appelle A et B leurs sommes respectives, la somme de la série (m„) est A H- Bi. Si Tune au moins des séries (a„) et (6«) est divergenle, il en est de même de ( Uu).

La série {u„) est dite absolument convergente si les deux séries {an) et [bn) le sont (n'' 47). Dans le cas contraire, elle est semiconvcr génie.

Théorème. — Pour qu une série imaginaire soil absolument convergente, il faut et il suj/it que la série des modules soit convergente.

La série des modules a pour terme général p/i:= y «« + ^«- Si elle est convergente, il en est de même des séries de termes généraux |a„ | el \b,i\, en vertu du théorème I du n° 42, car | «„ | et | 6„ | sont plus petits que p,;. Réciproquement, si les séries (|««I) et (|^/i|) convergent, il en est de même de la série (|a„ | H- |^« |) et par suite de la série p„, car pn< | «« ] + | (^« |.

L;i démonstration que nous avons donnée du théorème d'Abei (n"49) et celle que nous donnerons de la multiplication des séries (n" 32) s'appliquent aussi bien aux séries imaginaires qu'aux séries réelles.