Déterminer p et q pour que l'équation

x* -T- ^x^ — IX- -\- px -\- q z= o

nait que deux racines distinctes.

Une première méthode consiste à écrire que le plus grand commun diviseur entre le premier membre /{x) et sa tiérivée est du second degré, en vertu du théorème du n° '2'29. A cet eflfel, on efleclue la recherche de ce plus grand commun diviseur par la méthode de la division (n°206). et quand on a au diviseur un poljnome du second degré, on annule le reste correspondant. Ce reste étant du premier degré, on obtient deux équations de condition, d'où l'on tii-e p el q. Nous conseillons au lecteur de faire ce calcul, à titre d'exercice.

Nous allons suivre une méthode dilTérente, qui donne lieu à des calculs plus simples.

Observons d'abord f|ue deux cas seulement peuvent se présenter:

PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES. l45

Premier cas. — Deux racines doubles. — Dans ce cas, /(.r) est le carré d'un trinôme du second degré, soit

(0 X*^ \X'^— 2^---+- pX -f- <7 = {x--\- Ix -+- |Jl)2.

Egalant les termes en .r^ et en x-, nous avons successivement

Egalant ensuite les termes en x et constant, nous obtenons

Voilà donc une première solution, qui correspond à deux racines doubles, données par l'équation