r2 -t- ( I o — q)x ~- p — oq

{q — ïo) X- ^ ( "^ q — p — ■î%)x -+- 4q

[Sry-

((/ — io)n ^ (lo — <7)

Annulons le reste correspondant au diviseur du second degré

4(37 —p— -l-S) -r- (q —10)2= o, \Gq -T- (p — 3<7)(io — q) = o.

Eliminons /J, parla combinaison (10 — .y ) . (3) H- 4 • ( '1 ) "i '' vient ( 5 ) ( 7 — I o ;3 — { X -.'S ( (7 -- I o ; — ',-' y = o.

Nous simplifierons celle équation en posant (6) y = 10 -4- 4 M,

il vienl. en efTet,

ÉLIMINATION. l5l

Ayant u, (6) donne q; puis de (3) on lire

Les racines communes à (i) et (2) sont obtenues en annulant le plus grand commun diviseur

( 9 ) .r- — Il T ^- II- — 7 = 0.

La troisième racine de (i) est — u, car la somme des trois est nulle et la somme des deux premières est //, d'après (9).

Les troisième et quatrième racines de (a) sont données par

comme on le voit en calculant le quotient de (2) par (9), ce qu'on peut faire en négligeant, au diviseur et dans les restes partiels, tous les termes de degré plus petit que 2.

Le problème admet trois solutions, qui correspondent aux trois racines de (7). — Parmi celles-ci, la racine u =1:— i saute aux yeux et donne q zizÇi^ p =1 — 6. a et — 3 comme racines communes, 1 comme troisième racine de (i), — ■ j comme troisième et quatrième racines de (2). — Les deux autres racines de (7) sont données par

(11) II' — Il — Kl = o ;

elles sont réelles, mais incommensurables. Si l'on tient compte de (11), les équations (8) et (9) se simplifient un peu et s'écrivent

(ri) /? = '2 {8« -H 'îi).

Nous laissons au lecteur le soin tle prouver r[ue la plus petite racine de (11) donne seule des racines réelles pour (i3), ainsi que pour (10).

i. Eliminer x entre les deux équations

Nous allons nous ramener à deux équations du second degré (n°236). Multiplions (i) par — 2 et ajoutons à (2)

Multiplions (2) par — 2. ajoutons à (1) et divisons par ./■, en remar-

l52 CHAPITRE Xl\.

quant que zéro ne peut jamais être racine commune

Annulons enfin le résultant de (3) et (4),

[(•2 — ~ fn)- — 9]2 — [>.(?. — - ni)(in — •>, ) -- 3] [7 -^ ()(/?? — 2)] = o

ou

Il y a donc trois valeurs de m pour lesquelles les équations proposées ont une racine commune. Cette dernière peut être obtenue par la combinaison linéaire 7 . (3) -t- 3 . (4), qui donne, en enlevant le facteur x,

49 m — 5 En particulier, pour m ^^o, la racine commune e>t i.

Autre méthode. — Eliminons ni entre les équations proposées, au moyen de la combinaison — (i)-t-4(2); nous obtenons une équation à coefficients tous numériques :

dont les racines sont les racines communes possibles de (i) et (2).

Ayant calculé l'une d'elles, on aura la valeur de m correspondante en la substituant à jt dans (1), par exemple, ou mieux dans (6).

Si Ton tenait à avoir l'équation du troisième degré en m qui constitue effectivement le résultat de l'élimination, c'est-à-dire l'équation (5), il suffirait de remplacer jr par l'expression (6) dans (7). Mais, un tel calcul est inutile si l'on cherche seulement les valeurs de m pour lesquelles il y a racine commune. Il suffit en effet, pour cela, de résoudre l'équation (7). Or, on aperçoit aisément la racine o:7=zi. Après division par a: — i, il reste l'équation du second degré 7^--!- i5.r — 2 := 0.

;j. h'iiminer x entre les équations

(2) x^-h px -+- q = o.

Kemplaçons dans (i) .r* par {px-\-qY et jt' ])ar — .r(/Ar-Hç), nous obtenons l'équation du second degré

(3) .>:"-([>"-— ap -^ b) -^ x{i.pq — aq -\- c ) -\- q"^ -h d = o.

KI.IMINATION. l53

Il ne nous reste plus qu'à annuler le résultant de (2) et (3) :

iq"-— d — qp'--^ apq — bq )2

— {"i-pq — aq -I- c — p^ ^ op- — bp){ pd — />^--t- «?' — cq ) — o.

k. Résoudre le système

(l) >.'■- — 'iV- — l.r -f- 9 r = o,

( 2 ) 5 .r-' -^ ^y^ — [ ") .r- — I j .ry — y- = o.

Éliminons a: ( n° 237 ), A cet eflet, multiplions [ i ) par ./•, ( 2 ) par — i et ajoutons

(3) i-2.r--^ .ry{-\i — Sy) -i-jv'-(i — 'yy) = o.

Annulons le résultant de (i) et (3) par rapport à x :

y-ii-i-id — ^y)— ^j-Cr— 57)]-

-^r-[(-i-^ — ^y)(9— 'i y) -^ 3{i — 5y )]li(i -^ 5y{-?.-i. — j y )] = 0, ou

y-[ {"i-^y- — 5xi3 7-T-i2X 9)^

— (25jK- — 5 X 34^ -T- 3 X 67J( — 25^2-T- 5 X 22jk -i- 36)] = o, ou

y-i'i'i X lôojK^ — 25 X 528^2 -I- 5o X 39 7 -i- 36 x 3 x 175) = o

ou, en divisant par i5o,

{ 4 ) y-i 25 JK'* 88 >'2 — I j >• -r- I 26 j = o.

A chaque racine de cette équation correspond pour x la racine commune à (i) et à (3). que Ion peut obtenir par la combinaison

— 12 . (i) -t- 5 . (3). ce qui donne

— -l'iy''-^ I \oy -i- 36

Nous avons d'abord la solution -y- zr: o. xz=io. L'équation (4) admet ensuite la racine / = — i, à laquelle correspond

En divisant (4) par y- (j -h i), il reste l'équation du second degré

dont les racines sont

1 1 3 ±: V/T69 ^ ' ■ '^ — ' '^ ^ ) ■' : "^ ' \7, jo / •>.

auxquelies correspondent des valeurs de .*• données par (5). qui peut s'écrire, en tenant compte de (6).

ce qui donne les deux solutions

jK = a, .r = i; jK = 2,'5a,

o. Résoudre le système x^ = j .r 4- oy. y^ z= y y -1- 3 .c ( E. P. , 1 9 1 1 ). — Si Ton change a: en )■ et y en x, les deux équations ne font que s'échanger. Le système est donc symétrique. Du reste, il est équivalent au suivant, obtenu par addition et soustraction,

■>:■' — y' = /ii.K — y).

Chacune de ces équations se décompose, de sorte que notre système équivaut aux quatre suivants :