I. — NOMBRES INCOMMENSURABLES
1. Définition du nombre incommensurable. — Il convleul, avant d'aborder l'étude de l'Algèbre et de l'Analyse, de définir, d'une manière précise, le mot nombre dans son acception la plus générale.
Le lecteur possède la notion primordiale de nombre entier ou naturel et celle, qui en dérive, de nombre fractionnaire. Les nombres entiers et les nombres fractionnaires constituent les nombres rationnels ou commensurables. Jl est indispensable de les compléter par une autre catégorie de nombres, qui sont les nombres irrationnels ou incommensurables. C'est de ces nombres que nous allons nous occuper tout d'abord dans le présent Chapitre.
Ils s'introduisent très naturellement dans la mesure de certaines grandeurs. Proposons-nous par exemple de mesurer le segment OA {fie- '^ ^" pi'enant le segment OL pour unité. Nous essayons d'abord
Eig. J.
de recouvrir 0\ en juxtaposant j)lusieurs segments égaux à OL . Si cela est possible, la mesure de OA est un nombre entier. Sinon, nous partageons OL en q parties égales, telles que OU', et nous essayons de recouvrir OA en juxtaposant un certain nombre p de segments égaux à OU'. Si cela est possible, la mesure de OA est le nombre II AAG. — Cours, I. •
CHAPITIΠI.
iVaclloniiiiire — • Si, au conlraire, on ne peut v arriver, si grande que
soit la valeur donm'-e à q. ou con\ien[ de dire que la mesure de OA. est un nombre incoinnirnsurable ou irralionnei.
2. Coupure. — La dériuiliou eonerèle que nous venons de donner ne peut suffire aux analystes ; c'est pourquoi ceux-ci se sont efforcés, depuis longtemps, de donner des nondires incommensurables une définition j)urement abstraite. Ils ont imaginé, dans ce but, bien des procédés; nous ituliqiierons seulement celui de la coupure.
Revenoris au segment OA, supposé incommensurable avec OU. Soit X un noml)re rationnel quelconque; il est la mesure d'un certain segment OM évidemment différent de ()A. Si le point M tombe à gauche de A, nous dirons que x appartient à la première classe: s'il tombe à droite, x appartiendra à la seconde classe. Il est évident que les nombres de la première classe sont tous plus petits que ceux de la seconde classe. Toutes les fois que, par un pi-océdé (pielconque, on arrive à ranger tous les nombres commensurables en deux classes jouissant de celte proj^riclé, on dit qu'o/* a fait une coupure.
En particulier, le seul fait de choisir un point A sur la demidroite Ox donne naissance à une coupure. Mais, il y a lieu de distinguer deux cas, suivant que la mesure a du segment OA est commensurable ou non. Dans le premier cas, le nombre a doit être rangé arbitrairement dans la première ou la seconde classe ('); et alois on peut dire que dans la classe dont il fait partie, il y a un nombre rationnel plus grand ou j)lus ])elit (|ue tous les autres.
Si.1 au contraire, a est incommensurable, il n'y a pas, dans la première classe, de nombre plus grand que tous les autres, m, dans la seconde classe, de nombre plus petit que tous les autres (-).
Toutes les fois qu^une coupu/e possède ce caractère, on convient de dire qu^ elle définit un nombre incommensurable. Dans le cas contraire, elle définit un nomi)re commensurable, qui est le plus
(') On en fait quelquefois une lioisicme classe.
(^) En effet, tout nombre x de la première classe, par exemple, est la mesure d'un segment OM <0A. Or, on peut toujours trouver une fraction de OU inférieure à MA ; il suffit de diviser OU en un noriibic n suffisamment grand de parties égales. En
aioulant — à x, on obtient alors lin nombre rationnel de la première classe supérieure à x.
NOMBRES INXOMMENSURABLES. ?
grand de tous les nombres de la première classe ou le plus pclit de tous les nombres de la seconde classe.
3. Eclairons tout ceci d un autre exemple. Soit un nombre rationnel N. Rangeons dans une première classe tous les nombres commensurables dont le carré est au plus égal à N et plaçons dans la seconde classe ceux dont le carré dépasse N. Nous faisons visiblement une coupure, car le carré d'un nombre croît en même temps c[ue ce nombre.
Si N est le carré d'un nombre rationnel «, celui-ci appartient à la première classe, dont il est le plus grand ; la coupure définit le nombre commensurable a. Sinon, je dis qu'il n'y a pas, dans la première classe, de nombre plus grand que tous les autres. En effet, soita; un nombre de cette classe; on a J7- -< N. Or, pour n entier suffisamment grand, on a ( :r H ] < \, car ceci revient î> — ( h 2. ri <C J^ — -^'7 inégalité facile à vérifier! * ). Mais alors, x -\ appartient à la première
classe et dépasse x. On verrait de même que dans la seconde classe il n'y a pas de nombre plus petit que tous les autres. Donc, notre coupure définit un nombre incommensurable, lequel est désigné, comme dans le cas où N est carré parfai,t, par le symbole y/N .
4. Remarque. — Il arrive souvent que le procédé employé pour déterminer une coupure ne permet pas de reconnaître immédiatement si tous les nombres rationnels sont compris dans l'ensendjle des deux classes. ^ oici une remarque qui, dans ce cas, peut être fort utile. Si l'on peut trouver deux nombres, de classes différentes, aussi voisins l'un de Vautre qu'on le veut., il échappe au plus un nombre à la classification. En efiet, si deux nombres a et b n'appartenaient ni à la première, ni à la seconde classe, ils seraient tous deux supérieurs aux nombres de la première classe et inférieurs aux nombres de la seconde classe (-). Par suite, il ne serait pas possible
('} Il suffit, par exemple, en supposant «> i, de prendre
- (H- 2 j;) < N — j;-, ou >i > y-, ,•
{■) On suppose, bien entendu, que tout nombre inférieur à un nombre de la première classe est lui-même de la première classe et qnil en va d'une manière analogue pour la seconde classe.
de trouver deux nombres de classes difTérenles dont la différence soit plus j3elite que b — a [b > «), ce qui est contraire à riivpollièse.
Si un seul nonil)re échappe à la classification, il est le nombre rationnel déterminé par la coupure. S'il n'en échappe aucun, celle-ci (h'finil un nombre incommensurable.
ii. Valeur approchée d'un nombre irrationnel. — Soit donné un nombre rationnel a. Considérons la suite a, 2x, 3 a, ...,/? a, .... Si n est assez grand. /? a peut dépasser tout nombre tlonm''. Il suit de là qu il y a certainement des nombres de la suite précédente dans la seconde classe de tout nombre incommensurable V. Soit (p + i)a le j)lns petit denlre eux ; on l'appelle la valeur approcliée de A, à y. près par excès, tandis que py. en est la valeur approchée à a près par défaut ('). En prenant a suffisamment petit, on voit qu'o/? peut trouver des nombres de classes différentes aussi voisins l'un de l'autre qu'on le désire.
Dans le cas particulier où a est de la forme — j-, le nombre py. peut
être représenté par un nombre décimal possédant n chiffres décimaux. Si l'on augmente la valeur de /^, il faut ajouter, vers la droite, d'autres chiffres décimaux et cela sans modifier les précédents. Si n croît indéfiniment, on obtient un nombre décimal illimité qui constitue la représentation décimale de V (-).
6. Égalité et inégalité des nombres définis par des coupures . — l*ar définition, deux coupures définissent le même nombre si chaque classe est composée des mêmes nombres dans les deux coupures (■').
Thkohkmk. — Pour que deux nombres A et H soient ésaux, il
(') Ceci s'applique aussi au cas où A est ralionnrl; mais alors, celui-ci doit clie rangé dans la première classe et peut coïncider avec peu, pour certaines valeurs de a.
(^) Un nombre rationnel peut aussi posséder une représentation décimale illiniitée; mais alors alors on sait que les chiflres décimaux se reproduisent périodiquement à partir d'un certain ran;;,tan(lis qu'il n'en est [)as de même pour le cas d'un nombre irrationnel.
(^) Ceci peut-être légèrement inexact si, les deux coupuics déleniiinaiil un mcm<' nombre rationnel A, celui-ci est rangé dans la première classe pour la première coupure et dans la seconde classe pour la seconde coupure. On peut éviter cette difficulté en considérant trois classes, ou cri (on venant de ne jamais admettre dans la seconde classe un nombre plus petit que tous les autres.
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faut et il suffit qu^ ils aient même valeur approchée à a près par défaut pour une valeur de a pouvant être rendue aussi petite quon veut.
La coudilion est, évidemment nécessaire. Pour prouver qu'elle est suffisante, montrons (jue, si elle est remplie, un nombre rationnel a ne peut appartenir, par exemple, à la première classe de A et à la seconde classe de B. S'il en était ainsi, on pourrait trouver ^ rationnel assez petit pour que a — [ii appartînt à la seconde classe de B. Dès lors, pour a << ^, la valeur approchée de A serait plus g>-ande que a — ^, tandis que celle de B serait inférieure à ce même nombre, ce cjui contredit l'hypothèse.
Conséqucmment, deux nombres sont égaux s'ils ont même représentation décimale et réciproquement.
Soient deux nombres inégaux A et B, représentés, comme au n° 1, parles points A et B de l'axe Ox. Ces points sont distincts et Fun d'eux se trouve nécessairement à droite de l'autre, soit par exemple A à droite de B. J^e segment OA est plus grand que le segment OB. On dit alors que le nombre A est plus grand cjue le nombre B. Au contraire, B est plus petit que A.
Voyons comment on peut reconnaître ceci, d'une manière abstraite, au moyen des coupures définissant A et B. Il est manifeste que tous les nombres de la seconde classe de A appartiennent à la seconde classe de B, tandis que ceux de la première classe de B appartiennent à la première classe de A. Mais, il y a une infinité de nombres qui appartiennent à la première classe de A et à la seconde classe de B. (Ce sont les nombres rationnels représentés par les points de Ox compris entre A et B.) C'est ce dernier caractère qui permet de reconnaître que A est plus grand que B.
En particulier, il est évident que tout nombre irrationnel est plus grand que tout nombre de sa première classe et plus petit que tout nombre de sa seconde classe.
Jl résulte aussi de la définition précédente ([ue si A > B e/ B > C, on a V > C. En effet, par hypothèse, on peut trouver une infinité de nombres a dans la première classe de A qui font en même temps partie de la seconde classe de B. Mais, la seconde classe de B est tout entière dans la seconde classe de C^; donc, les nombres a sont aussi dans celte dernière; ce qui est le caractère de f inégalité A >» C.
7. Nombres négatifs. — Jiis(|u"à présent, il n"a vlé question que de nombres aritliniétiques on positifs. Mais on peut tout aussi bien définir des nombres incommensurables négatifs. Ils correspondent, sur .r'0.r, à des points situés à gauche de O. Avec cette extension, la première classe d'un nombre positif doit être complétée par tous les nombres rationnels négatifs et la seconde classe d'un nombre négatif par tous les nombres rationnels positifs.
Deux nombres A et B sont dits symétrùjues ou opposés^ si les points homologues de x' x sont symétriques par rapport à O. On écrit alors A = — B, B = — \.
La totalité des nombres commensurables et incommensurables, positifs et négatifs constitue, avec Je nombre zéro, les nombres relatifs. 11 nous reste maintenant à définir les opérations élémentaires (ju'on peut effectuer sur ces nombres.
8. Addition et soustraction des nombres incommensurables. — Soient deux nombres relatifs A et B. Désignons par a et b des nombres rationnels quelconques appartenant à leurs premières classes respectives et j:)ar a et />' des nombres appartenant aux secondes classes. Nous allons faire une coupure en rangeant dans une première classe tous les nombres inférieurs ou égaux aux sommes de la forme a -\~ b e\. dans une seconde classe tous les nondjres supérieurs ou égaux aux sommes d(; la forme a' -\- b' . En vertu du n" o, on peut rendre a et a', b et b' el par suite a -\- b el a! -\- b' aussi voisins qu'on le veut; d'où il résulte (n° 4) que notre classification ne laisse échapper qu'un nombre au plus et constitue bien une coupure. Le nombre (rationnel ou non) ilétcrminé par celte coupure est, par définition, la somme \ + B.
On peut définir d'une manière analogue la somme de n iioud^res ou bien procc'-der de |>roche en j^roche en additionnant les Caiwa premiers lerjnes de la somme, puis ajoutant le troisième au résultat obtenu et ainsi de suite. Nous laissons au lecteur le soin de vérifier l'identité des deux définitions et d'étendre aux nombres incommensurables les propriétés élémentaires de l'addition.
Retrancher un nombre ii d'un nondjie A, c'est, par définition, chercher un nombre x tel cpi'on ail l>-j- j:= A. Pour l'obtenir, il suffit d'ajouter :"i \ h; nondjie ( — B), car il est aisé de vérifier (pie les deux n<jmbies inc:ominensiiiables symétriques 13 el ( — \V) oui une
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somme nulle, et l'on a, craulre |)art,
9. Multiplication et division des nombres incommensurables. — Soient d'abord deux nombres positifs A et 13. Limitons, comme nous l'avons fait au début, leurs premières classes aux nombres rationnels positifs. En conservant les notations du numéro précédent, rangeons dans une première classe tous les nombres inférieurs ou égaux aux produits de la forme ah et dans une seconde classe tous les nombres supérieurs ou égaux aux produits de la forme a! b' . La différence Cl' y — ah pouvant èlre rendue aussi petite qu'on veut, nous venons d'établir une coupure (n" i ). Le nombre (rationnel ou non) qui lui correspond est, par définition, le produit AB.
On définirait de même, ou bien de proche en proche, le produit de plusieurs nombres positifs.
Le produit de plusieurs nombres relatifs est obtenu, par définition, en multipliant les valeurs absolues de ces nombres et faisant précéder le résultat du signe + ou du signe — suivant que le nombre des facteurs négatifs est pair ou impair.
Inverse d un nomhre. — Soit le nombre positif A, dont la première classe ne comprenti (pie des nombres positifs. Rangeons dans nne première classe tous les nombres de la forme —7 et dans une
seconde classe ceux de la forme — • La coupure ainsi obtenue définit
un nombre, incommensurable en même temps que A, qui est dit l'inverse de A et désigné par le symbole -r-* ^l est aisé de vérifier lidenlité A ( — ) = 1 .
Si A est négatif, son inverse est, par définition, le nombre né-
gatif-(-^).
Diviser le nombre A par le nombre B c'est, par d('-finition, trouver
un nombres tel qu'on ait lîx" = A. Pour l'obtenii'. il siilfit de inulli-
/ I ^ plier A par (77)' comme on le constate en faisant un raisonnement
analogue à celui fait pour la soustraclion.
b CHAPITRE I.
Extension du calcul algéhriquc aux nombres irrationnels. — Les opérations élémentaires étant définies pour les nombres incommensurables et jouissant des mêmes propriétés fondamentales que pour les nombres comniensurables, on peut étendre toutes les règles et propriétés du calcul algébrique à l'ensemble de tous les nombres relatifs. C'est là un fait que nous jiouvons admettre sans peine et dont la démonstration serait d'ailleurs aisée, mais longue (,'t fastidieuse.
10. Extension de la notion de coupure. — Toutes les fois que nous avons fait une coupure, elle n"a porté que sur les nombres rationnels. JNéanmoins, il est utile, pour certaines questions, de donner à la notion de coupure un sens un peu plus large, en rangeant tous les nombres relatifs (ou seidement aritbméti(|ues) en deux classes telles que tout nombre de la première soit j)lus petit que toutnombre de la seconde. Il est clair qu'on pratique ainsi du même coup une coupure dans les nombres comniensurables et qu'on définit par conséquent un certain nombre A, rationnel ou non.
Mais si Ton admet l'extension ci-dessus, ce nombre doit être rangé dans l'une des deux classes, à moins qu'on ne lui fasse constituer, à lui seul, une troisième classe (').
