II. — RADICAUX ET EXPOSANTS

1 1 . Radicaux. — Soient un nombre relatif quelconque a, commensurable ou non, et un nombre naturel //i'. On z\)^Q\\e puissance //?"'"'' de a et l'on désigne par a'"^ le produit de tn facteurs égaux à a.

Si m est impair, a'" a le signe de a; si m est [lair, a'" est toujours positif et égal à ( — a)'". Rappelons les identités suivantes, qui résultent immédiatement de la définition précédente et des propriétés

(') Dés que le l(;cleur se sera bien assimilé les nolions que nous venons d'exposer, nous lui conseillons la lecLiirc des paragraphes 1 el 3 du Chapitre I (p. i à 35, 52 à 54 ) de rOuvrage suivant: Leçons d'Algèbre et d'Analyse, par J. Tanneuy (Gauthier-\ illars, irjo6). Il y trouvera des explications très claires et 1res détaillées sur la théorie des nombres incomiiiensurables. qui lui permettront peut-être de préciser dans son esprit les quelques points qui p(jurraient encore lui paraître obscurs.

Nous aurons encore l'occasion de citer le Livre ci-dessus; nous le désignerons dorénavant par la rubrique Leçons.

HADICAIX. EXPOSANTS. 9

de coniniiilaliv ité el d'associalivité de la niidli|)llcation

(3) (a'")i'=(ai>)"'= a>"f>,

Enfin, remarquons encore qne, les nombres a et b étant supposés positifs, l'inégalité a'^ b entraîne a'" >- 6"', quel que soit m.

Cela posé, nous allons définir la racine m'^''"^ arithmétique du nombre positif a ('), soit \/ a . Mettons dans une première classe tous les nombres arithmétiques dont la puissance /w'^'"" est inférieure ou égale à a et dans une seconde classe tous ceux qui ont une puissance /Tz"'""' supérieure à a. Nous faisons ainsi une coupure, car, en vertu de la remarque ci-dessus, nu nondjre de la première classe ne saurait être plus grand qu'un nombre de la seconde classe. Cette coupure définit un nomljre qui est, par définition, \/ a . Il est rationnel (et appartient alors à la première classe) si a est la puissance m"^™^ d'un nombre rationnel. Sinon, d est incommensurable.

ThéorIlme. — Le seul nombre aiithmétique dont la puissance m"'""' soit égale a a est A = y a .

Montrons d'abord que \"' = a. Soit a un nond^re quelconque de la j)remière classe de A'"; on peut trouver un nombre [i de la première classe de A tel que a^ ^'" (n° 9). Or [j'"^a; donc a^a; autrement dit, a appartient à la première classe de a. On prouverait de même que tout nond>re de la seconde classe de A"' fait partie de la seconde classe de a. Donc A'" et a sont égaux (n" 6).

Je dis maintenant qu'il n'y a pas d'autre nombre B dont la puissance m'""'" soit a. En efl'et, si B > A, on a B'«> A"'== a; si B < A, on a B"'< \"'—.a.

Corollaire. — Pour montrer que deux nombres arithmétiques sont égaux^ il suffit de prouver l'égalité de leurs puissances m^^'"^^. Nous ferons usage de cette remarque.

(') Nous supposons dorénavant a positif, parce que ia racine m'"'" d'un nombre négatif n'existe pas toujours; il faut, en elTel, que m soit impair. De même, dans ce Chapitre, nous donnerons aux radicaux leur signification arilhmclique, sans nous occuper des racines négatives qui existent quand m est pair.

lO CHAPITRE I.

Identités. — On a les identités suivantes :

, , mi — ni — m/ /;;

(8) \/ai' = Y a.

Pour démontrer la première, il suffit, conibrmément au corollaire précédent, d'élever les deux membres à la puissance m et de s'appuver sur ridentité (4)- Si l'on suppose ensuite «, ^ «2 = . . • = «/,= o, on obtient l'identité (6) ('). L'identité (7) s'établit en élevant les deux membres à la puissance mp et s'appuyant, pour cela, sur l'identité (3). Enfin (8) résulte visiblement de ('j).

12. Exposants fractionnaires. — Le calcul des radicaux devient identique au calcul des puissances, grâce à l'introduction des exposants fractionnaires.

Par définition, siyo et ^ sont deux entiers positifs, on a

Pour que cette convention soit acceptable, il faut prouver que

si — :^ -^5 on a a' = a . On peut évidemment se borner au cas où g q 1

l'une des deux fractions est inéductible, soil par exemple — - On a

alors//=A/?, rj'^:=Kq^ A désignant i\n certain nombre entier. D où

a' = y al' = {/a^-i'= V\ '^i'^'' = V"''= <* • c. 0- F- i>-

Les exposants fractionnaires Jouissent des mêmes propriétés que les exposants entiers. Etendons-leur d'abord les identités (1), (2), (3), (4).

I" a'a''=al ''' := a '''''

\JaP y al' = ' y ai'<i -^'1 1' .

(') On peut aussi l'établir en élevant ses deux membres à la puissance m et en se servant, pour le premier mcnibrc. de i'idcnlilé (3).