IV. — ADDITION ET MULTIPLICATION DES SÉRIES

ol. Addition des séries. — Etant données denx séries (;/„ ) et (i'n), si l'on ajoute leurs termes de même rang, on obtient une nouvelle série, de terme général (Vrt = «« + ('„, qui est dite la somme des deux premières. Si celles-ci sont convergentes et ont pour sommesU et V, la série ((i'„ > est également convergente et a pour somme W;=UH- V (théorème I du n° 38). Si {ihi) converge et que (i'„) diverge, ((t'rt) diverge (corollaire du n" 38). Si (un) et (^^n) divergent, on ne peut rien dire de ("'„).

On peut étendre tout ceci à l'addition d'un nombre quelconque de séries.

52. Multiplication des séries. — La multiplication des séries est loin d'être aussi simple <|ue leur addition. Caucliy est le |)remier qui s'en soit occupé d'une manière précise, en fixant une règle jiour la formation du terme général de la série produit de deux séries données. Voici quelle est celte règle. Etant données les deux séries (?/«) et (t'rt), la série produit a pour terme général

Autrement dit, on efl'eclue la multiplication comme si l'on avait aflaire à deux polvnomes ordonnés d'une ceitame manière (') et l'on groupe en un même terme iv,, tous les produits partiels dont la somme des indices est égale à /i + i .

Cette règle ne présenterait aucun intérêt et n'aurait qu'une signification purement formelle, si l'on ne démontrait pas que la série (i^n) est convergente et a pour somme le produit des sommes U et V des deux séries proposées, supposées convergentes. Ceci n'est d'ailleurs vrai que dans certaines conditions. Caucliy l'a démontré dans le cas où les deux séries {u,i)el (r«) sont absolument convergentes. Depuis, AJerlens a prou^'é qu'il suffisait que l'une au moins des deux

(') On peut imaginer par exemple que cliaque terme de ( "„ ) est un inonomc par rapporL à une certaine variable x, de degré égal a son indice. De même pour (v',,). Le produit est alors ordonné suivant les puissances croissantes de x, iv„ désignant le terme en jc"-^' (Cf. Séries entières, n° 105).

seines fût absolument comergente, soit, par exemple, la série {u,,)' C'est ce que nous allons faire voir ici. Nous allons prouver que les dilTérences

0,,, = ( (l'i -r- M-2 -H . . . -h W2« ) ('if/i -i- «2 -^- • --^ "n)(^'l -t- ^"2 -!-• • •^" ^«)

et

Oj„ + i= (Wi -+- IV, -f- ...-1- W2«+l) — («1 -^ Ui—- . .-^ Un)(Vl^V^—. ..-^Vn)

tendent toutes deux vers zéro, quand a croît indéfiniment. On en concluera manifestement que la somme des 2 n ou des i?i -\- \ premiers termes de la série («'«) a même limite que le produit

lequel tend vers UV (n" 38, théorème IIV

Occupons-nous d'abord de la différence Oo«. Ordonnons-la suivant les indices croissants des ui ( ' )

^2»= U\(Vn+l^ Vn+2^- ■ •+ t'2«) ^ U-li^'n-\-^ '-'^+2 "^ • • •— t'2n-l) + • • • -i- Un Vn+\ H- Un + l ( t'i -H l'a -r- . . . -H f „ )

D'où

|Ô2«|^| «1 I I t'/i+l-f- l',n-2-^- . •— t^2«l -^ 1 It-A |^'/^-4-l^-• • --r-V^.n-ï \^-- ■ -h I Un I |^'n+l 1 -^ I "«--1 i |fl— l'2-^- . •-+- '•/; | 4- I Ua^i\ \Vi^Vi-~...^ P„, I — . . .-H I U^nW^i \.

Or, de la convergence des séries ([«^«1) et (t"»), on déduit d'abord qu'on peut trouver un nombre positif A supérieur à toutes les sommes telles que

I "l I -!- I «2 I — • • --H I "« I et \Vi— V-i^. . .-^ Vn\-

De plus, en vertu du théorème I du n" iO. étant donné un nombre positif £ aussi petit qu'on veut, on peut lui faire correspondre un nombre naturel N tel que l'inégalité /i^N entraîne les deux suivantes

I ««+1 1 -+- I ltn+i\ -^. ..-f- 1 Un^p\ < £, |l'/24-l— V„+i — . . .4- i'n+/>\ < E,

(') Nous recommandons au lecteur, pour la compréliension de ce calcul, d'écrire les unes au-dessus des autres les expressions des termes cv,, »\, ..., h\„ en fonction des u, et v .

el ceci quel que soit/?. Dans ces conditions, on aura

\0-in\ < £(|l/l|+ l"2| ^-

Comme t peut être choisi aussi petit qu'on le veut, il en est de mên)e de 2z\ et l'on voit bien que Oo„ tend vers zéro pour n infini. De. même, o^n+i peut s'écrire

02„ + i = ?/i(i'„-f-,+ i'n+2-^. • .+ ^-in+l) -+- î/2 (<'« + !-+-• • •+ ^2/i ) -+-.-• -H l(n+2(i'l-+- ('o + . . .^-4'«) +...-+- f«2„4-lf'l.

Comme pour Oo», on démontrerait que, si n =N, on a

I Sa^+i I < 2eA,

de sorte que Oo„,) tend également vers zéro, pour n infini, c. o.f. d.

Remarque. — On peut se demander s'il n'est pas possible de faire j)our Merlens ce que Mertens a fait pour Cauchy, c'est-à-dire d'étendre encore le théorème, en enlevant la restriction de convergence alisolue pour l'une des séries. Un exemple suffit pour montrer qu'il n'en est rien. Essayons en effet de faire, suivant la règle de Cauchj, le carré

de la série semi-convergente qui a pour terme général ( — i)" — --•

On a

//« s/-}. {Il — I ) //> ( n — /' -t- I )

Or, on vérifie aisément que chaque teruie du crochet est au moins

éiial à — '■ — f d'où l'on conclut que I «v,, 1 est plus iirand (lue — ^ — •

Conune cette dernière quantité tend vers :>., w„ ne tend pas vers zéro et la série que nous avons (ormée est divergente.