Discuter V équation x

Elle rentre dans le type 111 du n° 265. Nous allons donc discuter l'équation aux inverses

(1) f{x) E= x'* -\- mx^-^ ^x-—i = 0.

A ceteÛet, nous étudions les variations de /(./). Nous avons

Le trinome^j(.r) a des racines réelles et distinctes, si gw-— .4-. S > o, o^ „i ^ i , en se bornant à considérer les valeurs positives de m ('). Nous devons donc déjà distinguer deux cas.

Premier cas : ml -^- — g{x) est essentiellement > o;/'(.r) a le

signe de x elf{x) prend sa valeur iniiiimuni pour x=io. Celte valeur étant négative ( — i) el la valeur pour r = ± x étant positive, on voit qu'il y a 2 racines, l'une positive, l'autre négative.

Deuxième cas : m > '-^- — g[x) d. deux racines .r^, .r., toutes deux négatives. Nous avons le Tableau de variations :

X \ — X X\ Xi 0 -<- >:

(') La discussion |i<nir /« ' o se (léiluiiMil «le celle (pie nmis allons faire par la simple lemarquc que le clian;::ement de /// en — m ne fait que elian;;er le si;;ne des racines.

KylATIOXS A COEFFICIENTS MilÉIUQlES. IjS

Il nous faut les signes de yi et de y^. Nous savons qu'on peut remplacer ces quantités par les résultats de substitution dans la dérivée par rapport à la variable d'homogénéité

mx^~ Sx"^ — 4-

Mais, ce polynôme peut s'écrire, en tenant compte de ,a''(^) = o,

3 rnx \ / j \

'2 1 — bnix — 1 6 — 4 = — -j m- x- -h 8 m X ^ -20 j = — ^(x).

Les signes de ji et de yj sont donc opposés à ceux de 9(.fi) et de o(^2)« Pour avoir ceux-ci, on peut procéder comme il suit :

Le produit 9(Xi)'j(.r2) a même signe que le résultant des trinômes ^(.r) et o (^), à savoir

F ( m- ) = 27 m^ — 1 3 x 64 fn- -+- 6400. Le discriminant de ce trinôme en m- s'écrit

I J-.32-— "i-T . 16-. > j = i6'-(iGy X 4 — 27 x 25) = 16^(676 — 673) = lô^.

Les racines sont donc — (2011:1), c est-a-dire 10 et Les valeurs

positi\es correspondantes de m sont 4 et - — — • Elles sont toutes deux

plus grandes que ., ' • Nous sommes donc obligés de partager notre deuxième cas en plusieurs autres.

L 4 > ''' > ^~~^ • — F(ni-) est négatif; y^ et y., sont de signes

contraires. Mais, d'après le Tableau, j'i<^V2. Donc, J'i < o, y.,^ o. Il y a 4 racines, une dans chacun des intervalles ( — oc, .r, ), (o^j, j:, )r

(J72, o), (O+GC).

II. m > 4. — F(/«-) est positif; 9(^1) et oi^i'-i) sont de même signe. Pour avoir ce signe, observons que c'est aussi celui de 9(.r,) -+- o{.v.t,], fonction symétrique facile à calculer

3 „ / i)ni- \ ^ / 3 m\ 9(^iJ-+-?(^-2)= 4'«-(^^7^i y ^B/7?(^ -j-j +40

= —-m'' — 9 /?r- -h 40 = G I ni'^ ).

Ce trinôme en ni- a deux racines réelles et positives, m'î et ml-

MaisG(i6) = 4>o;deplus, 16 > ^"' ~^~ "^'' — ^^ = y- Donc, 16 est

plus grand que ces deux racines. Par suite, Thypothèse /n >4 entraine /« > m,, /« > /?Î2, donc Ci(m-)>o. Il suit de là (jue ©(.r, ) et 9(./'2)

sont positifs et, par suite, y, et r* négatifs. Nous avons donc seulement 2 racines^ l'une plus petite que .r,, l'autre positive.

>jn >

©(.r,) et ©(.r^) ont encore même signe,

celui de G (m-). Mais, G

sont négatifs. Donc,

et

- - et G

sont tous deux compris

entre ni\ et m'I. Par suite, dans l'hypothèse actuelle, m- est aussi compris entre ces nombres, et G(m-) est négatif. Il s'ensuit que y, et y-^ sont positifs. Nous avons i racines^ Tune comprise entre .r^ et o, l'autre positive.

Cas intermédiaires. — a, m^= 4« — F(//?-) =: o, G( /??-) > o. Un des nombres },, /, ^st nul, l'autre est négatif. Comme y\<iyï-, c'est y, qui est nul et ji négatif. Donc, il y a une racine double égale à .v-i ^t deux racines simples, l'une plus petite que r,. l'autre plus grande que zéro.

— F(/«"-) = o, G(/;?-).<;o. En raisonnant comme ci-

dessus, on voit quey,= o. y2>o. Il y a une racine double égale à x^ et deux racines simples comprises respectivement entre x^ et o et entre o et -I- co .

Remarque. — On aurait pu confondre les cas II el III et observer que. quel que soit le signe commun à j', et à y.,^ il y a toujours deux racines réelles el deux seulement, dont l'une est positive et l'autre négative. Nous avons voulu montrer néanmoins comment on pourrait déterminer dans tous les cas les signes de j, et de jy.,^ ce qui, pour d'autres exemples, pourrait avoir de Timporlance au point de vue du nombre des racines. En outre, cette détermination fournit une meilleure séparation des racines.