V. — CALCUL NUMÉRIQUE DES SÉRIES

53. Il se présente fréquemment, en Analyse, qu'un nombre est défini comme étant la somme d'une; certaine série convergente. Il arrive aussi qu'un nombre A d<';fini dune manière iiuelcouque ne

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puisse être calculé pratiquement d'une façon directe; on en cherche alors un développement en série, c'est-à-dire cpi'on tâche de construire une série convergente admettant A pour somme. Ceci se présente couramment dans la théorie des fonctions [voii^ Chap. Vil), mais aussi dans bien d'autres questions, telles que, par exemple, les calculs astronomiques.

II im|>orte donc de savoir calculei-, avec une approximation donnée, la somme de toute série dont on a reconnu la convergence. C'est ce qui va maintenant nous occuper.

Séries sommables. — Un cas particulier très simple, mais peu fréquent, est celui où la somme des n premiers termes peut se mettre sous la forme d'une fonction de n dont on aperçoit facilement la limite exacte pour // infini. On dit alors que la série est sommable. Calculer sa somme, c'est en faire ta sonintalion.

Un exemple de ce genre nous a été fourni par la progression géométrique. Nous en indiquons d'autres dans les exercices correspondant à ce Chapiire et aussi dans le Chapitre VII, relatif aux séries entières.

Lorsqu'on ne connaît aucun procédé de sommation, il faut se contenter d'un résultat approché, ce qui, d'ailleurs, est pratiquement suffisant, si l'on peut pousser l'approximation assez loin.

oi. Calcul approché d'une série. — Pro|)Osons-nous donc de calculer la somme S d'une série {u,i) avec une approximation égale, par

exemple, à — -• A cet effet, nous réduisons la série à ses N premiers

termes et nous calculons chacun de ceux-ci avec p -{- cj décimales. jNous commettons ainsi deux sortes d'erreurs :

L'erreur de première espèce est la somme des erreurs provenant

, N du calcul de chaque terme; elle est inférieure à

U erreur de seconde espèce résulte des termes négligés; elle est égale au reste )\y de la série, c'est-à-dire à la somme de la série convergente

Si N est choisi suffisamment grand, elle peut être diminuée à volonté, d'après la con\ergence même de la série proposée. On conçoit dès lors qu'il soit possible de s'arranger pour (jue la somme des

deux erreurs soit plus petite que — ;• Mais, pour savoir quand cette

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condilion est remplie, il est nécessaire de connaître, pour chaque valeur de N, une limite supérieure de | R^ |. Cela peut ne pas être facile. ^ oici néanmoins des cas assez fréquents pour lesquels cette question se résout iminédiatemeut.

i" La série est à termes positifs et Von peut lui appliquer la règle de Cauchy (n" 43). — On a évidemment

Rn < A->'+i + A>+-^ + . . . = -— ^ ;

2° La série est à termes positifs et Ion peut lui appliquer la règle de Dalemhert (n° 43). — On a, dans ce cas,

Rn < «N+I ( I + /. + Â2 + . . . ) = "^"-^' -

3" La série est à termes quelconques^ mais elle est absolument convergente. — On cherchera, au moyen d'une des deux règles précédentes, si c'est possdDle, une limite supérieure du reste de la série des valeurs absolues, (lomme celui-ci est plus grand que |R>|, il en sera de même, a fortiori^ de la limite obtenue.

4" La série est alternée. — D'après ce qui a été vu au n" 48, le reste est toujours du signe du premier terme néglige et lui est inférieur en valeur absolue.

Il est aisé de constater que, dans chacun de ces cas, le reste a même ordre de grandeur que le premier terme négligé. Dans la pratique, on ne calcule guère que des séries pour lesquelles il en est ainsi. Si le terme général tend assez vite vers zéro, ou, comme on dit, si la série est rapidement convergente., et si l'approximation demandée n'est pas exagérée, on peut adopter la règle pratique suivante :

Règle pratique. — On calcule les termes successifs avec p -\- o. décimales; quand on n. obtient plus que des zéros, on fait la somme des termes calculés et F on prend celle-ci pour valeur approchée de la série.

Celte règle, qui est en quelque sorte une règle empirique, n'a rien

d'absolu. Ou peut néaiinioins observer que si Ton poseR„= — '-—;> Terreur totale est plus petite <uie -> l'our quelle soit inférieure

1 1 1 io/' + '^ 1

à 1 il faut et il siiflit (luon ail

loi' 1

N -~ p <ioo.

Or, R„ étant de Tordre du premier terme négligé, c'est-à-dire

de — ^-^> c sera de Tordre de Tunité ; on peut admettre^ par exemple,

que p sera toujours inférieur à lo. Alors il suffît que N soit plus petit que go, ce qui sera toujours largement ^ériflé, car on ne perdra jamais son temps à calculer go termes d'une série, à moins qu'on ne poursuive un but tout à fait particulier.

En tout cas, quand on a terminé le calcul, il faui toujours bien

vérifier que Terreur totale est inférieure à D'ailleurs, on s'aper-

cevra, la plupart du temps, qu'on a obtenu une approximation plus grande que l'approximation demandée (' ).