oc

ri

Soient >,, ï, les racines de ce trinôme. 11 faut les placer, ainsi que i. par rapport à J?,, a;^. D'abord, ^(r) < o; donc

puis, en supposant £i<Ç2, on peut écrire

car çi < G et J7i > o[^'(o) est positif].

Cherchons maintenant le signe de gCî-î)- ^ows pouvons remplacer

g-{a^) par le reste i3( 1- 4- - ] de sa division par A(.r). Cela nous conduit à placer r par lapport à i^. Dans ce but, nous formons

Nous voyons que r, est extérieur à l'intervalle (ip £.) et, comme çi<o,

- est > -%, — £.,4- -, est > o, S'ii.i) est > o. Comme;2< - (puisque < :;) Haag. — Exercices. I. i-

Ij8 CHAPITRE XXII.

et que - <>r2, d'après (4), on a nécessairement (9) b<ari<a72.

Finalement, le trinôme 3 j^-^— 4-3^ + ' = (■^ — 0 /' (>'î^) P''end le signe — pour^=iJ7, et le signe H- pour .r 1= .r,. Donc/i>o, ro<o. L'équation proposée a trois racines réelles.

Remarque. — Ces racines sont séparées par les nombres œ^ et .r., ; mais ceux-ci ne sont pas explicitement connus. Pour obtenir une séparation efTective, procédons par substitutions successives. D'abord, /(o) <; o; comme o ■< .^j, les trois racines sont positives.

[On peut le voir aussi par le théorème de Descartes; car /( — œ) n'ayant pas de variations, il n'y a pas de racines négatives.]

Puis /■(i)=r— 2<o. Comme i>.r,, les deux plus petites racines sont comprises entre o et ^ . Pour les séparer, calculons, par exemple,

Finalement, si Xj, X,, X3 sont les trois racines rangées par ordre de grandeur croissante, nous avons la disposition suivante :

D'ailleurs /(3 )> o; donc X3< 3.

Calcul de X,. — Commencer par resserrer l'intervalle f o, - j • Nous avons

Donc, Xi est compris entre o,3 et 0,4.

Appliquons la méthode de Newton. — Il nous faut le signe de/"(.r), (n° 270). Or/"(.r) =r 6o(2.:r'^ — 3 x- ) = 60 a;^ ( 2 .r — 3) est négatif dans tout l'intervalle. Nous devons donc appliquer la méthode au nombre o, 3. Si X, = o,3H-/i, nous prenons comme valeur approchée de // celle qui est donnée par

/(o, 3) -+-///'(.., '•.) = .), ou

EQUATIONS A COEFFICIENTS NUMERIQUES. 179

L'erreur commise £ est plus petite nue '—, — ;— • | Le maximum

de — f" {oc) entre o,3 et o,4 est atteint pour .rr=o,4, car, dans cet intervalle, —f"\x) =z 36o:r(i — .r) est positif.] Donc

6i).o, 16. 2,"2 i,o56 ^^ 200.8,623 "^86;^ <o,oi3.

Mais, si nous observons maintenant que h est exactement inférieur à o,oi3 + o,oi3 = 0,026, nous pouvons écrire

On en conclut que Xj est compris entre les deux nombres

0,01239 et o, 31239 -H 0,00091 = o ,3i 33o,

qui constituent deux valeurs approchées, par défaut et par excès, à moins de y^^ près. En prenant leur moyenne arithmétique o,3i2845, on obtient une valeur approchée, à moins de ôwcr 5 niais on ne sait pas dans quel sens. Enfin, on peut se borner à trois décimales, en prenant o,3i3 comme valeur approchée à moins de -nyV? près; mais on ne sait pas non plus quel est le sens de l'approximation. On ne connaît donc pas le troisième chiffre du développement illimité de Xj en fraction décimale, bien qu'on possède une valeur approchée à moins de ., „'^ ^ ; mais cela a peu d'importance pratique.