Discuter l'équation (i) .r cosx — 2 sin.r -\- ni = o
iz et calculer sa plus petite racine positive et autre que — quand m = 2.
Nous commencerons par observer qu'on peut se borner à considérer les valeurs positives de m, car le changement de ni en — m équivaut à celui de .z" en — x.
Cela posé, pour séparer les racines de l'équation (i), on songe tout d'abord à étudier les variations de son premier membre (n° 263). Mais l'équation dérivée .r sin j:^^ H- cos a; ::= o est transcendante et nécessiterait une étude particulière. Nous éviterons cet inconvénient en divisant au préalable l'équation (i) par cos.r ('). Autrement dit, nous allons
(') On peut enlever, par cette o|)ération, les racines x = kr. -[- -^ si elles exislenl; ce qui n'arrive que pour m = .', sin I Az + - h c'est-à-dire /. pair, m = 2.
l8o CHAPITRE XXII.
étudier les variations de la fonction
( 2 ) r = /( ■'- ) = -r — 2 tang.r
COSJl'
Intervalle de variation. — Si l'on change x en x + ikr., y se change en \ -4- •?.!<-. Il suffit donc de construire la courbe dans un intervalle de longueur 27:. quitte à lui faire subir ensuite toutes les translations (2A'7:, ikr.).
Si Ton change j: en 7: — ^, j se change en r. — Y- Gela indique
une symétrie par rapport au point 1 ( ' ~ )*
Finaletiienl, nous prenons pour intervalle de variation i — 7'+7]- Ayant construit la courbe correspondante, nous prendrons sa syniétritjue par rapport au point I; puis nous lui ferons subir les translations T/,.(2/,t:, 2kT.), qui sont parallèles à la première bissectrice.
Continuité. — La fonction est définie et continue dans tout l'intervalle ( — -, -r- — ), sauf peut-être aux extrémités.
Dérivée. — On a
, 2 m sin.r — fi — /« sin.r -1- sin-.r)
cos-j'; cos-.'' cos-./'
Il nous faut le signe du trinôme en sin x
(3) ^ = ^'(sin.c) = sin^.r — m sinj- -r- i.
Premier cas : //« < 2. — z est toujours positii', donc y' négatif; y décroît. Pour
- ni
.r = h î. tans -c = — x. =^y:, v = -1- oc.
2 ° ces,/; -^
J^our x^ - — î, y se présente sous la forme co — 00 . Mais, si on l'écrit
ni — 2 sin.r
' -^ cus.r
on voit (ju'il tend vers — oc . On a donc la courbe suivante {fig. 1 i ). Si Ion prend sa symétrique par rapport au point 1, ou obtient la courbe en pointillé. Il suffit ensuite dimaginer les translations T/.. pour se rendre compte que V équation proposée admet une racine x/,. et une seule dans cIukjuc intervalle tel que ( k- — -^ , kr. -\- -\i ({uel (|ue soit l'entier /. . positif, négatif ou nul.
ÉQUATION? A COEFFICIENT? NUMÉKIQUIÎS. l8l
Si k est très grand positif, a:/^. est très voisin de Att-t- -• Si /. est négatif et de très grande valeur absolue, ^a est très voisin de /. t: — -7 •
Fin. II.
VT
Deuxième cas : ?}} = 2. — La seule diflférence avec le cas précédent
, - ( r — sin :r I . , , -
provient de ce que, pour a: zzz - , r = .r -h 2 est égal a — •
' ' ' 2 " cos X 2
(Appliquer la règle de THospital.) La courbe passe au point I et
présente la forme suivante {/ig'. 12). La symétrie donne ensuite le trait
pointillé. En imaginant enfin les translations T/.. on voit qu'en dehors des racines ■y.kr. + — [Cf. note de la page 179), il Y a une racine jti, et une seule dans chaque intervalle tel que (2/.- — -■> 2/. 7: H — ~)' Pour les grandes valeurs de /c, même observation que plus haut.
Troisième cas : tn^i. — Le trinôme z admet une racine et une seule comprise entre — i et + i ; celte racine est d'ailleurs positive. Soit a
la valeur correspondante de jc ( o < 3c < ' j • On a le Tableau
jK ^ -X \l ^ /
m — 2 sina
P = a H = a -H col '/,
en remplaçant m par r^ • Gela nous donne la courbe G suivante
' ' ' sin a
( fif;\ i3). Par symétrie, on obtient la courbe G' en pointillé.
La translation T/.. amène G en G/,, qui coupe Ox en deux points, si l'ordonnée y^ du point A^., homologue de A, est négative ou nulle ('), Or //!•=: |3 + 2^:71; on doit donc avoir
