AT

De même, la translation T/^ amène G' en G/,, qui coupe Ox en deux points, si l'ordonnée r'/;- du point AjJ. est positive ou nulle ('). Or

y^=-r.— l^-h-?.kK;

on doit donc avoir

t: — fi-r-2Â:7r>o «m /,• >

(') Si l'j — o, les deux poinls sont confondus; a + 3Â~ est racine double. Ceci arrive lorsfjue -i— est un ncHiihre entier. l'.cinarquc aiial<);^ue pour j'/,..

ÉQLATIONS A COEFFICIIÎXTS M MÉRlyLES. l83

Ceci aura lieu pour A'^A,, si l'on appelle A'o le plits petit nombre

. â I entier ^ — , nombre d'ailleurs visiblement é£;al à A, ou à A, — i.

Finalement, nous pouvons énoncer les résultats suivants :

Les entiers A", et A, étant déterminés comme il vient d'être expliqué, r équation possède deux racines dans chaque inter^'alle

pour toutes les valeurs de kl — A,, ainsi que dans chaque intervalle

pour toutes les valeurs de k^kn; elle n'en admet pas d'autres. La discussion est donc à présent complète.

Calcul de la plus petite racine positive autre que —, quand m z= 2.

— La figure 12 nous montre que celle racine est comprise entre — et -.

On peut le voir aussi en transformant l'équation comme il suit.

Posons — — X ^= 2u : il vient

[ — — -lu) sin%u -^ 1(1 — cos2fA) = o,

ou, en exprimant sin2« et cos 2 m en fonction de sin u et cos « et divisant par sin u ( ce qui enlève les solutions u ^ k-, x ^ ^ — 2 A - J >

( — — 2 « J ces « -!- 2 sin j< = o, ou enfin

(5) tangw = ;/ j-

Rien n'est plus facile que d'étudier cette équation grapliiquement. Ses racines sont les abscisses des points d'intersection de la courbe bien

connue y ^= tang x et de la droite y =z x — -^ • La figure 14 montre que

réqualion (5) admet une racine et une seule dans chaque intervalle

k~ — — » kr.—- — )- Par suite, (1) admet une racine et une seule

)Si

dans chaque intervalle

r>.k- -4- ~, ■^/l - — - ) ou ( '/i- ■> •?./{-

'th

conformément an résultat précédemment obtenu.

Fig. 14.

L'avantage de la transformation ci-dessus consiste en ce que Téquation (5) est plus simple de forme que l'équation (i) et sera plus facile à résoudre.

D'après la formule 2«=- — .r, la plus petite racine positive en x correspond à la racine en u qui est immédiatement inférieure à -^•

La figure i4 montre que cette dernière est comprise entre o et — -,

et semble d'ailleurs assez voisine de — -^ •

l'osons o(«)=itang« — u -h- j- Nous avons

Donc la racine est comprise entre — -et — -• Faisons d'autres subsli-

tu lions pour resserrer l' inlervaUe. En nous serviint d'une Table de conversion des grades en radians et d'une Talile de tangentes naturelles, nous avons

of— (ioï) = — I ,376 -+- o,()4-^ -f- 0,78} > o, <p( — 70Ï) = — I ,963 -I- I , 100 -1- 0,785 < o, oi — 6jY) = — I ,r)j5>. -+- I ,ovii H- 0,785 > o, o( — r,8r) = — r ,819 -r-i ,oGS-+- 0,785 >o, <p(— G9T) = — I ,889 I I ,()S'i -H 0,785 < o.

EQLATIONS A COEl FICIENTS NL'MKHIQIKS. 183

La racine est donc comprise entre — 681' et — 69". Appliquons la méthode de Newton à cet intervalle.

Nous avons

o' {u) = tan g'- M, o"( u) = •>, tang?/(i -\- lan^- n).

o"{u) est négatif dans l'iiilervalle considéré. Il faut donc appli(:|uer la méthode à ~ Sgf ^= — i,o8385.

Nous avons, en utilisant cette fois une Table de logarithmes à cinq décimales,

cp( — 69I') = — I ,88870 -f- 1 ,o83S5 -H 0,785 40 = — 0,01945.

Si 1/ -+■ h désigne la racine exacte, nous prenons pour valeur approchée

de //

o( — 6qT ) o, 01945 . ,.

hi = -, = "-— — - = o , 005 4 ) ;

' .^'(G()T) tang='69T

d'où

Il 1 = — [ ,o8385 -f- 0,00545 = — 1,07840.

Limite de l'erreur. — Le maximum de |o"(«)| dans Tinlervalle (— 69Ï, — 68T) est

1 tang 69^(1 -f- tang- 69T) < 4(1 ■+- 4) =20.

D'autre part,

donc

o, 000256. 20 (j,oo'256 0,00256 0,00064 0,00064 „

•2tang-69y tang-bijv M, 8,)- 0,81 0,8

Mais alors h est inférieur à

A] -H OjOCoS ■< o,oo55 -t- 0,0008 = o,'io63 ;

donc (n" ^71; remarque),

('o,o()63)"-. 10 (o,or)64)-.io (0,0032)2 ^ ^, ^ .

tangMùjT ^ (1,8)- o,o8i '

Finalement, la racine u est comprise entre — i, 0-845 et — 1.07858. On peut donc prendre, à moins de ,ôiôïï P''^^ (')>

(') Nous su[)[)osoiis louLefois que les calculs auxiliaires, qui ont été faits avec cinq décimales seulement, ne donnent pas d'erreurs suppN'uicntaires suflisantes pour modifier celte approximation.

l86 CHAPITRE WII.

d'où

'• = iu = i ,5708 -+- ■>, 1570 = 3,7278 ( ' ).

EXERCICES PROPOSÉS