Séparer les racines de l'équation

.;; cos.r =^ sin.r -+- ces 2.r

et calculer la plus petite racine positive à j^*^ près.

li. Résoudre approximativement les systèmes

,/■' -i-r- — 2 j: -T- 4„>' ^ I = ", .1-- — ir- -f- 4 '^ -i- 6/ = o ; x^ -T-y-^ — xy = o, .r- -!- o-jK" — J = o.

EXERCICES RÉSOLUS, l. Calculer le déterminont

On pourrait le développer directement suivant les éléments d'une ligne ou d'une colonne. Mais, il vaut mie"ux essayer de le simplifier au préalable par des combinaisons de lignes ou de colonnes (n° 281) faisant apparaître des zéros ou des rangées partiellement proportionnelles. C'est ainsi que, si l'on retranche la deuxième ligne de la quatrième, celle-ci devient :

Quatrième lii,nie : ■>., o, — '"), o, o.

Ajoutant la deuxième à la troisième, celle-ci devient : TriMsiènie ligne ; i, v,, 3, o, 3.

A part l'élément du milieu, on obtient la première ligne. Helranchons donc celle-ci de notre nouvelle troisième ligne; nous obtenons:

Troisième ligne : o, o, 4» o, o. Nous pouvons donc écrire

en développant suivant la troisième ligne, puis encore suivant la troisième.

Il nous reste à calculer un déterminant du troisième ordre. On peut le développer par la règle de Sarrus, ou bien suivant la première ligne ou la deuxième colonne. Adoptons, par exemple, ce dernier moyen ; nous obtenons

2. Déterminant de Vandermonde. — Les n + i nonihicx a, b, c, . . . , l étant supposés différents, calculer le déterminant

I fi. a- 1 b 62

Ce déterminant, qu'on appelle déterminant de Vandermonde, est évidemment un polvnome homogène par rapport aux « + i lettres a, 6, c, ...,/. Or, pourrt=6, il est identiquement nul, comme ayant ses deux premières lignes identiques. Il est donc divisible par (6 — a) (n° 203).

Pour la même raison, il est divisible par c — «, d — «, ..., et par suite par le produit de tous ces facteurs (n" 205). On a donc une identité de la forme