Effectuer le produit des deux détenniiianls o abc

— a o de

Multiplions lignes par lignes

o — a- — ab

«"■^ o — ad

0 o — eb -r- cd -^ af

En développant suivant la ])reniièie colonne, puis suivant la seconde, nous avons

DD'= {— a^-) {— a^-) {cd + af — eby- = aHcd -\- af — ebf-.

Si Ton remarque maintenant que D' se réduit à son terme principal a'*, nous en concluons, en supposant toutefois a ^ o (* ).

D = {cd+ af~ebf.

k. Faire le produit des matrices

•A-^yl^--l ■''■2 yi -2 I

D'après la règle du n° 285, rélément général est

cj = x;, -i-jK^i + -1-1 — 2.r/i.r;, — 2jK/-i7;-i

du moins tant que i al J sont tous deux supérieurs à l'unité. En outre, c\ =: c] = i , si / > i ; c[ := o.

(') Si a était nul, le dévcluppemcnt |)ar lu règle de La]jla(;c donnerait de suite

D = [he — cd y.

1 au

'J-li

''J-nn

DETERMINANTS. I9I

Dès lors, appelons d'une manière générale a,y le carré de la dislance du point M, qui aurait pour coordonnées rectangulaires x,, j,, zi au point My, qui aurait pour coordonnées x'j , r'j . z'j , par rapport aux mêmes axes (t. II). Le produit de nos deux matrices est égal au déterminant

Différents cas peuvent alors se présenter suivant la valeur de n.

Si n > 4, le produit est nul. En particulier, si l'on confond les points M^ avec les points M, et si Ton prend n=zîj, on obtient \ci. relation qui existe entre les dislances de 5 points de l'espace associés deux à deux de toutes les manières possibles. (Observer que, dans celte hypothèse, on a cf.iiz=z G et iXij:z=. cf.ji.) En prenant le cinquième point au centre de la sphère qui passe par les quatre premiers, on a une équation du premier degré pour calculer le carré du rayon de celte sphère.

Pour n = 4» Is déterminant (i) est égal au produit des déterminants déduits des deux matrices, qui sont alors des tableaux carrés. Mais, en les développant suivant la première ligne, on constate, d'après une formule de Géométrie analytique (t. II), qu'ils sont égaux respectivement à 6V et à 48 V' (au signe près), en appelant V et V les volumes des deux tétraèdres M1M2M3M4 et iM', M', MjM'^. Le délerniinanl (i) est donc égal à 288 VV. Si l'on confond les deux tétraèdres, on a une formule donnant le volume d'un tétraèdre en fonction des arêtes.

Pour /t ■< 4) Is déterminant (i) est égal à une somme de produits de déterminants. Prenons, par exemple, n =: 3. Les seuls produits non nuls sont de la forme

-Si

— -iZ