IZ

ys

— az'

Le déterminant (i) est alors égal à — 16(8^.8^ -H SyS^ 4- S^Sl), en appelant S^, par exemple, l'aire algébrique de \a projection du triangle MjMaM;) sur vOz. Mais, si a, j3, y sont les angles du plan de ce

iga

triangle avec vO:;. zOx, ^^O}' et si S est son aire, on a

S.ç=Scosa, Sy=Scos3, S;=Scosy- De même

S^=S'cosa', S^=S'cos3', Si=:S'cosY'- Donc

S.r Sâ:-f- SySy-t- S;S1= S S' (ces a cosa'-f- cosp cos[B'-t- cosy cosy') = S S' cosV,

en ajDpelant V l'angle des deux plans MiM^Mj, M'iM^M'^. Finalement, on a la formule élégante

1 ^11 '^12 «13 I a.,1 7.02 '^23 I ^-Sl y-32 ^33

= i6SS'cosV (1).

Pour n ^r 2, les seuls produits non nuls sont de la forme

= 2(.ri — .r2)(.r'j — .>'./).

Leur somme est égale à aMjMo.M'jM', . cosV, en appelant V Tangle des deux vecteurs (MiM,) et (M'jM,). En développant (i), on obtient alors la formule élégante

Ml M'2" -^ M. iM'i' — M, M', ' - AU m;' = 2M1 M,. M', M'2 cosV.

En particulier, si \ :=: -. on a le théorème suivant :

Dans tout tétraèdre orthocentrique. la somme des carrés de deux arêtes opposées est la même pour les trois couples d'arêtes.

[A j)arl les cas /^ :=: 3 et « = 2, nous avons emprunté ces aj)plicalions au cours professé à la Sorborine par M. Darboux, pendant l'année scolaire 1904-1905.]

(') On pinirrail aisément interpréler les signes des deux membres, en considérant les sens de parcours .M,M„.\Ij, AI, M^M, sur les <leux triangles {Cf. t. II). Si l'on confond les deux triangles, on a la surface on fonction des côtes.

DETERMINANTS.

EXERCICES PROPOSÉS