Calculer les déterminants suivants

y -^ z z -^ X X -h y yz zx xy

sinJT sinj' sin ; cosjr cosy COS.

[Pour le dernier, ajouter les lignes, puis retiancher chaque colonne de la suivante, etc.]

3. Soient n quantités distinctes x^, x.^^ . . ., x„. On désigne par <j{ la somme des produits i à / de celles de ces quantités autres que .c j. Démontrer que le déterminant du «'^'"'^ ordre

I C7j cri I -y'I 7 J

est égal au déterminant de \'andermonde déduit de x,, .r^,

Il \. n — 1

multiplié par ( — i) -

H.v.vo. — Exercices, I.

[On peut se servir des identités (n° 225)

T^ = s , — Xj, a-f, = 52 — Xj ^\ ,

où 57 désigne la somme des produits / à / des // quantités proposées. En portant dans J), on obtient le déterminant

S„-i-.Tj7{

D' = Il I .«i — Xj

CyU j

En multipliant la première colonne successivement par — s^ — 5„i et ajoutant aux. i", S*", . . ., «'èmcs colonnes, on obtient

D = D'=(-i)"-i||, Xj xj.{ ... xj.i__^ ||.

On opère sur ce déterminant comme sur D' et, en continuant de la sorte, on arrive à éliminer de proche en proche tous les ct.]

k. Soit le déterminant d'ordre n + i

Calculer sa dérivée par rappoit à x. En déduire son développement.

[D^, ^/«D„,. De plus D„zzio, pour ^ = o. Enfin Dj^a.'. En intégrant de proche en proche, on obtient D„. On peut aussi, en retranchant la première ligne de la deuxième, établir la formule de récurrence D„ = .rD„,.]