VI. - CONSEILS PRATIQUES POUR L'ÉTUDE D'UNE SÉRIE

oo. Nous terminerons ce (>liapilre en donnant au lecteur quelques conseils pratiques qui, nous Tesi^érons. lui permettront, quand il se trouvera en présence d'une série de difficulté u)oyenne, d en reconnaître rapidement la nature et d'éviter les tâtonnements inutiles et maladroits qui sont habituels aux commençants. La marche qui nous semble la plus rationnelle est la sui\ante:

i" Chez cher la limite de iiapour n infini. — Dans ce but, il sera

souvent commode de poser - =z /^, car les infiniment [)etits sont plus

faciles à manier que les infiniment grands. Si ii,i ne tend pas vers zéro, la série est divergente. Si iin tend vers zéro, considérer h comme V infiniment petit principal et chercher., si possible, la

(') Il peut arriver qu'il suffise de calculer les termes successifs avec /) -f-i décimales, en s'arnHanl encore quand on n'obtient plus que des zéros. Mais alors, il faut que N -f- p soit plus petit que lo. Si cette condition n'est pas satisfaite, on di>ii reprendre tous les calculs avec une décimale de plus. Cf. Leçons, n" 193.

partie principale de l'in/iniment petit Un. Si A/iP désigne celte dernière, la règle «*?/« nous montre que la série converge ou diverge suivant que /> I> • ou /? 5 i 5 H fi'y aura jamais de cas douteux.

2" L'étude de u,i au voisinage de h = o est impraticable (M. — 11 faut alors rechercher si la série est à termes positifs. Si oui, on regardera rapidement s'il ne se présente pas une série («„) ti-ès

connue telle cjue le rapport — tende vers une limite finie et diifé-

rente de zéro., pour n infini. On appliquera alors le théorème I du n" 42. Si l'on ne voit rien dans ce sens, on essaiera les régies de Cauchy, de Dalembert, ou n'^u,i, en commençant par celle qui semble devoir donner les calculs les plus simples. A ce propos, observons qu'il est nécessaire de bien connaître les énoncés exacts de ces critères et qu'il ne faut pas toujours les abandonner sous le pré-

texte qu on n a pu trouver une limile pour ^ //,;, ou n^u,i-

Si ces règles courantes ne donnent rien, on essaiera, le cas échéant, la règle de Duhamel, ou celle de Gauss, ou encore le théorème III du /^<' 42.

3" La série est à termes quelconcjues. — \oir d'abord si elle est cdternée et si l'on peut lui appliquer le théorème du n° 48, ce qu'il est souvent très facile de reconnaître. S'il n'en est rien, étudier la série des valeurs absolues. Si l'on ne ])eut établir la convergence de celle-ci, il n'y a plus qiià essayei; le théorème d'Abel ou à chercher un artifice cjuelconque.

Remarque. — La marche que nous venons d indi(|uprna évidemment rien d'absolu et il peut arriver souvent que la règle à appliquer saute aux yeux dès le premier examen du terme général. Mais, toutes les fois qu'il n'en sera pas ainsi, nous conseillons au lecteur de procéder méthodiquement comme il vient d'être indicpié.

(') Oa trouvera au Cli,i|iiti(; Vlll les divers ly[KS de foiiclions do /( pour lesquelles celte étude est possible priiliqueiucnt.

FONCTIONS D'UNE VARIVBLE RÉELLE