X- .Tg Xy a^iu
n'ait que des éléments nuls au-dessus de la diagonale principale.
9. Déterminants fonctionnels. — Etant données trois fonctions, par exemple, u, v, w de x, y, z, on appelle déterminant fonctionnel, ou Jacobien, de ces trois fonctions le déterminant
du ôx
du
du 'dz
ôv ôx
dv dz
âw
dw
dz
Montrer que si l'on fait un changement de variables quelconque (n° 139), on a identiquement
^{x\y\z) \}{x,y,z)ïi{x\y,z')
10, Pour résoudre le système
ax ->n by -^ cz =: cl^ a' X -\- b'y -{- c' z = cl' , x'-^y-^z-^d",
on peut prendre pour inconnue auxiliaire le déterminant fonctionnel des premiers membres. Calculer le carré de ce déterminant (Darboux, loc. cit.).
11. Soient une courbe plane orientée et une origine des arcs Mo sur cette courbe. On considère trois points M,, Mj, M3 d'abscisses curvi-
lignes infiniment petites .ç,, .ç.,, s-^. Calculer, au quatrième ordre près, Taire algébrique du triangle iMiMoM^.
[Si Jc, y sont les coordonnées du point d'abscisse curviligne s et si j:', y', .1-', y" sont leurs dérivées premières et secondes, l'aire demandée est, à un facteur numérique près, le produit des deux déterminants
I Si Si l s -2 si I 5, Sr,
Jo y'o y"o
lequel produit est égal à
- MiMa.MsMs.MsJMi,
p désignant le rayon de courbure en M^.]
12. Etendre l'exercice précédent à un tétraèdre infiniment petit inscrit dans une courbe gauche.
[On prouvera que le volume du tétraèdre est, ;~i un facteur numérique et au septième ordre près,
^^ M, AJ. . M , M3 • Ml M4 . M2 1VI3. iVlsMi . M4IVI2,
p et T désignant les rayons de courbure et de torsion en M„ (Darboux, toc. cit.).']
13. Voir ce que devient l'exercice résolu n° k quand on se borne à la géométrie plane (^;=ro).
\k. Etant données quatre demi-droites issues du même point : 07, OÀ,, 0/.', O/.', . de cosinus directeurs a, />, c; «j, b^, Cj ; etc., faire le produit des matrices
En déduire la relation
eus [i cos [i' — cos Y cosy'= cosV sina sin a',
où l'on appelle a, a', j3, j3', y, y' les angles XO^^i, VOV^^ 101', XiOX',, ÂO?/,, a'OÀ, et \ l'angle des deux plans /.O/., et //O/.', .
l.'i. iCtant données les quatie dcuii-droiles O/.j, <->)>2, OX3, O/4 de
cosinus directeurs «,. />,, c,. etc.. multiplier par elle-même la matrice
rt, 61 Cl
a-i bi Ci
En déduire la relation qui existe entre les angles que font ces quatre demi-droites deux à deux.
