I:m(m4-2)p^o. — /l y a une solution unique donnée par les

EQIÎATIONS ET FORMES LINEAIRES.

formules de Cramer. I^ar exemple, I i\

— m ( m -f- 2 ) ( m - — -un -\- -i)

Les valeurs de y, ^, t s'en déduiraient par permutations circulaires sur «, 6, c, f/, car le système proposé ne change pas quand on permute circulairement à la fois .r, y, c, L et a. b, c, f/.

II : ni^=o. — Si l'on enlève à D sa quatrième ligne et sa quatrième colonne, on obtient un déterminant qui est égal à i. On peut le prendre pour déterminant principal. Le déterminant caractèi'istirjae correspondant est

Si a -h c ^ b -h d, il n'y a pas de solution.

Si a -f- c =: 6 + «?, il y a une infinité de solutions, obtenues en donnant à t une valeur arbitraire et résolvant ensuite les équations (i), {■!). (3) par rapport à x, y, z, ce qui donne immédiatement

III : m z=: — 2. — On peut prendre le même déterminant que tout à l'heure pour déterminant principal, car il est égal cette fois à 5. Le déterminant caractéristique est

Si a -+- b -h c -h d Tzz o ., pas de solution.

Si a+b-\-c-hd^^o. infinité de solutions obtenues, comme plus haut, en résolvant par rapport à J", y, :; le système

y-^z=ît

— xx = b — / .

ly = c — t.

On pourrait employer les formules de Cramer. Mais il est plus rapide, par exemple, de multiplier la première équation par 2, la seconde par — 2. la troisième par i et d'ajouter; on obtient de la sorte

5x = ■.>.(•?./ -h rt) -H -iC^ — 6) H- c — ^ = 5/ ^ 2rt — •>. ^ -H c;

■>.a — ib -^ c a — h — ne ^a -\- b -h-ic

Deuxième méthode. — Ajoutons les quatre équations données

(10) { X ^ y ^- z -^ t) ( m -^ -2) = a -\- h ^ c ^ d. Ceci nous conduit immédialemenl à distinguer deux cas :

Premier cas -m z=. — 2. — Pour que le système soit compatible, il

faut qu'on ail

a-\~b-^c-hd = o.

Si cette condition est remplie, chaque équation est une conséquence des trois autres. On peut, par exemple, se borner à considérer les trois premières. On retombe alors sur le système (8) et, par suite, sur les formules (9).

Deuxième cas : m 7^ — 2. — De (10) on tire

Si Ton tient compte de cette équation, les proposées s'écrivent, en posant m — i^^ [J-, pour abréger l'écriture,

ar = \xt + S — (I, , . , v = iJ.x^S — b,

z = ixy -H b — c, t = jjL3 -+- S — d.

Des trois premières on tire successivement x. y, z en fonction de /. Kn portant dans la quatrième, il vient, en posant encore, pour abréger l'écriture, S — « = 5;, S — 6 ^ j3, S — c =n y, S — d = 0^

( ri ) / — |Ji'' t -+- \J^ a -4- a2 [i -r- [jLy -h 0.

Le coefficient de L étant i — p.'*, il faut de nouveau distinguer plusieurs cas :

EQLATIONS ET FORMF.S MNÉAIRES.