I : /jL ^ ± I , m^ 2 OU o. — On a

Il y a une seule solution, donnée par la formu'le (14) et celles qu on obtient par permutations circulaires. Nous laissons au lecteur le soin de vérifier l'identité de ces formules avec celles qui sont données par (6).

11 : ;jL r^ I . m:=2. — L'équation (i3) est vérifiée identiquement, si Ton tient compte de la valeur (11) de S. Mais, c'est ici le lieu dobserver que. si les équations (12) sont des conséquences du système proposé, la réciproque peut ne pas être vraie. Les équations (12) ont été obtenues en retranchant (11) de (i), (2), (3), {l^). Inversement, on obtient (i), (2). (3), (4) en retranchant (11) de (12). Donc, le système proposé est une conséquence des équations (12) si l'on peut déduire de celles-ci Téquation (11). Or, en les ajoutant, on a

c'est-à-dire l'équation (11), sauf si (j.^:: 1 . C'est précisément l'hypothèse

actuelle.

Pour avoir un svstème équivalent au proposé, il nous faut prendre,

par exemple, les trois premières équations (12) et leur adjoindre (11).

En portant dans (11) les valeurs de u.\ y. c calculées en fonction de t,

nous avons

4^-T-GS — 3a — ib — c=: S,

d'où

Les valeurs de x, y. z s'en déduisent par permutations circulaires. On a une seule solution.

III : ^j. = — I, t}iz=:o. — L'équation (;3) se réduit à a -h y ^ 3 -f- ô.

ou

Pour que le système soit compatible, il faut donc que la condition (17) soit remplie. Si elle l'est, les formules (12). ou mieux les équations (1), (2), (3), (4) donnent la solution générale

(18) x = — t -i- c, y — f — c — d, z =~ ( -{- b, où / est arbitraire.

EXERCICES PROPOSÉS

1. Résoudre les systèmes suivants, et discuter s'il v a lieu :

( I ) . 1.V ~ y — z = {, X — 5 jK H- 2 •: = o, 3 a: -+- i j — 4^ = 6;

(II) x-v-iy — 5^ = o, ix-^z^ — T., lôx — j' = 5 ;

( .2? -i- r -T- ^ -+- ^ = 4 , a; -4- •>. JK -r- 3 ;; = I , I jK -+- iz +3^ = 1, ^ -I- ■>. ^ -f- 3 :r = 1 ;

(IV) y-^-^^^-^^-y^^-^y-^^ a. + b^h-C. + d =o;

abc -^ '

(iri)