Décomposer en carrés la forme qaadralif/ue

oj == X- -4- i)y- -+- z'- -f- rnf- — 4 >'- — > - '' -+- ^-^y -^ '^t'- — -1 m ty 4- t z. Prenons x pour variable directrice ( n" 301) :

w = (./'-H 3j' — c -i- /)- — (3 r — -s-t- O' + OJ''"^ ^" -^mt"- — 4.}'-^ — mit y -H/z, (o = Pf -+- [h- (/?? — \)t- -h i yz — i{'i -\- m) y t -^ "^ z t] = Pf -t- wi.

Prenons ensuite y «^t :; pour variables directrices simultanées :

0}i=z -j.lz — {'ù ^ m)t](y -h - i] ^,- o('i -{- m)r--h {m — i)t-, oji= - j'-r- ;;— (-^ -+- mj M — - r ~ -+(- + /»)/ -H 4(/" -1- 2)^--

l'inaleinent,

w = (.r H- 3jK — ^ -h 0'+ ^ p- + - - f ^ + "ij M

- ^ Ti-.^-H ("^ 4-/»')/l'^4(/«-^•0/-■ ^////•e/«e//^ .• Prenons z pour variable directrice

o; = (^z — .r—'iy-h-j — (.V -h 2JK — - j

-I- .r- -f- 9jK^ -4- nit- -+- G.rj' -f- 'itr — 2 /»< J', 10 = Qj-^ 5j'2^ (m -L\r-^u.ry^:\f.r-^'i(i — m)(y\ = Q? + 0,.

FORMES QUADRATIQl'ES.

Prenons ensuite r pour variable direclrice

^1 = j[5y -h .r-\-{] — nijt]-— y [■>■-+- (I — nDt]- ' 7 '" 9

Prenons jc pour variable direclrice Finalement

t--\ : t.l- = - Ql -i- -

10 = \^z — .1: — iy -4-

-r- ( I — ni)tY

On vérifie, conformément à la loi d'inertie ( n° 300), que dans les deux, modes de décomposition, on a trois carrés positifs et un carré négatif si ni >> — 2, et deux carrés positifs et deux carrés négatifs si m <C — 2. Si 771 z:= — -2, on a seulement trois carrés, dont un seul est négatif.

On peut encore vérifier que le discriminant s'annule pour 771= — 2 et dans ce cas seulement. Effectivement, on a

En développant, par exemple, suivant la première ligne, on a 0 = ( 9 /?i -4- /H -I- ni — ni'~ — ^ — im ] — i { 3 ni

(>ni

m + ni — ni-

\{in~- 2),

ini ~. ni -\- q m

•quantité qui ne s'annule que pour /ii := — 2.

Le déterminant formé par les trois premières lignes et colonnes est d'ailleurs égal à 27:^0; de sorte que, lorsque //i — — 2, co est a p/io/i décomposable en trois carrés, ce que nous avons vérifié.

2. Calculer la forme polaire de la forme quadraUque précédente relativement aux groupes de variables

ou

Pour le premier groupe, nous appliquons la règle pratique donnée au n° 308, et nous écrivons immédiatement

(o(.r I .r') = .^'.r' -f- 9JK>'' -t- zz'+ intt— ■2(yz'-i~zy) — (zx'-i-xz')

— 3 ( .'y' -f- JK^' ) -h itx' ^ xt') — m{ty' -^ yi')-\- -{t z -\- zt').

Pour le deuxième groupe, nous utilisons la formule

, , I / , àto , àto , âoi , d

' u \ ô.r -^ ôy dz (.

qui se réduit ici à

, , ,, I ()(»> I 10 ( ./■ ./• ) = — ^^ int + ./• — m V -\ z.