Calculer la forme polaire de
w = {x -^y — z— t'f + {ix '\- y) {z — t) -^ r-,
relativement aux groupes {x. y, z, t). (i, i, i, i).
Regardant r,) comme une forme quadratique des formes linéaires X -h y — z — t. 2X -h y, z — t, t, nous avons (n° 308)
0){x I ./;') = (.r + jK — ; — /) (i + i — i — i)
ou
k. Invariants d'lne foume quadratique. — Les coef/icients de iéquation en S d'une forme quadratique sont des invariants pour toute substitution orthogonale.
Etant donnée la forme quadratique oj, considérons une fonction quelconque de ses coefficients, soit \-=zf{a'-). Imaginons qu'on fasse maintenant sur r.) une substitution linéaire (S), transformant r,)(.r) en une autre forme quadratique (5(j), dont nous désignons les coefficients par b''. Ces coefficients sont certaines fonctions linéaires des a'-.
FORMES QUADRATIQUES. 207
Cela posé, on dit que la fonction 1 est un invariant pour la substitution (S), si Ton a identiffuement f {b'}) ^ f {a'-) (').
Par exemple, le discriminant est un invariant pour toutes les substitutions de module in i; comme cela résulte du théorème démontré au n° 309.
Je dis maintenanl ([ue les n coefficients du polynôme en S 'jue nous avons appelé o (S) sont des invariants pour toute substitution orthogonale.
Appelons £(S) le polynôme analogue relatif à la forme ^{y)- H faut montrer que o(S) iEs £(S). Pour cela, nous observons que ô(S) est le discriminant de la forme quadratique
De même, £(S) est le discriminant de
On a d'ailleurs, quels que soient S et les x,,
(3) 0'(7)^ai'(.r),
car
6(jK) = w(a:) par hypothèse, et
parce que la substitution est orthogonale. Donc, on a aussi (n° 309)
parce que le carré du module de la substitution est égal à i (n°299) (-).
5. Invariants simultanés de deux formes quadratiques. — Soient deux formes quadratiques a)(^) et Q{x).he. discriminant <5(S) de la forme o)(^) — ^B{x) est un polynôme de degré n en S.
Faisons une substitution linéaire quelconque et soient îi(/), €)(/) et par suite ^(r) — S0(/) les formes transformées de 0)(ar), Oia-) et o)(^) — S9(.r). Le discriminant A(S) de £^(/) — S0(y) est encore un polynôme de degré n en S. On sait d'ailleurs que, si [j. est le module de
(') Ceci doit avoir lieu quels que soient les a/.
(^) On peut aussi, en s'appuyanl sur le théorème du n" 309, dtinontrer que les deux polynômes ô(S) el £(S) ont les mêmes racines, parce que pour chacune de ces racines w'(,r) et 6'(^) se décomposent en moins de n carrés (n° 3().j).
la substitulioii, on a Tidenlité
(i) A(S)=;ji2ô(S).
On voit donc que les coefficients de A(S) sont proportionnels à ceux de o(S). Autrement dit, les rapports des coefficients de ô(S) à V un d' entre eux sont des invariants pour toute substitution linéaire. C'est ce qu'on appelle des invariants simultanés des deux formes quadratiques.
L'équation
est liée intimement au problème suivant :
Trouver une substitution linéaire qui fasse disparaître simultanément les termes rectangles dans les deux formes m et 0.
Soit
(3) .i\= 3t/ 71-^^/^2-1-. ..+ a" r« (i = 1,2, .. ., rt) une telle substitution. On a, par hypothèse,
(4) w(.r) = Q(jK) = A,j2^ Ao7^ + ...-^ A„j^2,
(5) e(.r)E3 0(jK)= B,jf+ B.yl^...-^ B„j;,.
Différentions par rapport à j,,
1 / . dw ; dixi ; (ko \ I / (Un ()m
■2 \ Cri à.i\ d.r„ / ■! \ Oy' da ,
di-, ■ ■" (Jj:. ■ "é.'-nJ 2\ ^ ()y.' ■■■ ' " ()0i',
(7) ^/JK/^^f^'l
Eliminons j',; nous avons, en posant S,
(8 -r. TT - S/-T -+- '^M TT - Sz-T +• • ■ + ■'■'' ( — - S,— ) = o.
Ceci doit avoir lieu (piels que soient les x\ donc
(}(o ,. f/0 (>to ,. i)^) (ko ^ ôO
(9) -J-^'TT^''' t/a'i (J'j.\
(>^'; (1^0 ' '^^rt ''^/J
Nous obtenons, pour déterminer a',, a'.,, . . ., a,',, // équations linéaires et homogènes. Comme nous devons avoir une solution autre que la solution zéro, le déterminant de ces équations doit être nul. Autrement dit, S^ doit être une racine de l'érjuation ( 2 ).
FORMES QIADRATIQUES. ^°9
Bornons-nous au cas où celle équation n'a pas de racine mulliple. A chaque racine correspond un syslème lel que (9), qui admel une solution délerminée, à un facteur près ('). Ce facteur étant choisi quelconque, on obtiendra de la sorte tous les coefficients de la substitution (3).
Reste à montrer maintenant que, les coefficients étant ainsi calcules, on n'aura effectivement aucun terme rectangle dans il{y)i m dans ©(j).
Pour montrer, par exemple, que le rectangle y, Vy n'est pas dans li(7), il suffit de prouver que la forme polaire i2(j| v') est nulle pour le couple de valeurs
( j' = '1 ry = "> j ^ 0, (7y = ' ' y'i = "' '^V y ) ;
ou encore que la forme polaire h-\{x\ x') est nulle pour les valeurs correspondantes
(a;, ai, ..., 4), (x-i.ai, ..., a-^,).
Il suffit donc de vérifier les égalités
(10) co(a^lav;)=(., O(o:^,la{) = o.
Or, si Ton multiplie les équations(9) respectivement para/, a{, ...,a/, et qu'on ajoute, on obtient
De même
(■2) o>(4hi)-^y^(4hi) = o-
. Gomme Sy^^S,, on en conclut nécessairement (10). C. Calculer la forme adjointe de la forme quadratique
o) ( ^, jK, z) = .v"- — j2 j 3 -2 .^yz — ■>. zx -^ G./;/.
Appelons «, c, w les variables adjointes. Nous avons (1) x^^y — z = u, ■ix — y — z = v, a;- j + 3 - = ir.
Résolvant, il vient
o, M -H ; p -f- ■< w 1 « — P + fi' r>. Il -t- (' -f- ^ (r
(') Le déterminant principal est, en ellet, d'ordre n — i, car si tous les niiiieius d'ordre rt — I étaient nuls, S; serait racine multiple deô(S). {Cf. n°310.) IIaag. — Exercices, I. '4
