I. — NOTION DE FONCTION; CONTINUITÉ

06. Notion de fonction ( ' '. — On désigne sous le nom général de variable une lellre susceptible de représenter n'importe quel nombre relatif. Donner à cette \ariable une valeur numérique^ c'est la remplacer par un nombre relatif déterminé. L ne variable x est dite variable indépendante quand on peut lui donner arbitrairement pour valeur numérique n'inq)ort(' quel nombre compris entre deux nombres fixes a et b (-), qui délimitent V intei'valle de variation (a. b). Si X peut prendre toutes les valeurs supérieures à «, l'intervalle de variation est («, -{-ce). Si x peut prendre toutes les valeurs inférieures à rt, il est ( — 00, a). Si x peut prendre n'importe quelle valeur, il est ( — co, -f- a:).

U/ie variable y est dite fonction de la varialde indépendante x si les valeurs numériques de y correspondent éi celles de x d' une manière univoque. Vutrenient dit, à toute valeur de l'intervalle [a, b) attribuée à x^ ou fait correspondre, par un procédé quelconque, une valeur déterminée pour j'. On dit alors que la fonction y est parfaitement déterminée dans V intervalle («, b).

Grâce à l'indétermination du procédé qui sert à étaljlir la correspondance entre j? et y, on voit que la notion de jotietton est très générale. Par exemple, on peut définir y comme fonction de x en assujettissant les valeurs numériques correspondantes de ces deux variables à annuler un certain [lolynome en x et y (n" 130). On obtient

(') Cf. Leçons, 11"' llJi, l'.)5, l'.Ml.

(■- ) Les bornes a el b de l'inlervalle lotiL aussi partie des valeurs numériques alti'ibuaMcs à x. Nous supposerons (tans la suile, sauf avis eonti'aire, a <.b.

IIaag. — Cours. I. '>

66 CHAPITHE V.

alors une fonction algébrique. Les fonctions non algébriques sont dites transcendantes . Nous en verrons quelques exemples, se ramenant lous à ce qu'on appelle les transcendantes élémentaires (n"78). Mais, on en peut imaginer bien d'autres, soil par des procédés d'ordre analytique, soit par des procédés d'ordre géométrique, soit même par des procédés d'ordre physique (').

Quel que soit le mode de définition des fonctions dont nous étudierons les propriétés, il nous sera commode de les représenter par un symbole déterminé tel que f{x), g{x), h(x), cd(x), '}(^), etc. (Prononcez : / de x, g de x, etc.).

o7. Représentation graphique. — Il est commode, pour se rendre compte de l'allure d'une fo/iction^ de construire sa représentation graphique. Dans ce but, on choisit den^axes de coordonnées Oxy., généralement rectangulaires (Tome II); on imagine ensuite tous les points obtenus en portant en abscisses toutes les valeurs de x de l'intervalle (a, b) et en ordonnées les valeurs correspondantes de y. L'ensemble de tous ces points constitue la courbe représentative de la fonction.

Pour toutes les fonctions que nous rencontrerons, la courbe représentative sera toujours une ligne, au sens élémentaire et intuitif du mot. Néanmoins, on j)eut construire des fonctions pour lesquelles cette notion disparaît complètement; mais nous ne nous en occuperons pas.

Réciproquement.^ si l'on trace dans le plan xOy une ligne quelconque C, dont un arc AB i^fg. 9) soit rencontré en un seul point par chaque parallèle à O y d'abscisse comprise dans l'intervalle («, ^), il est clair que cet arc peut servir de courbe représentative à une certaine fonction y"(j;). Mais celle-ci ne serait exactement déterminée que si le trait de la courbe était infiniment fin. Gomme ceci est irréalisable, la fonction f{x) n'est connue que d^ une manière approchée. Au point de vue pratifjue, cela n'a aucune importance, et c'est ce procédé graplii(|ue (ju'euq)loient généralement les physiciens pour

(') C'est ainsi que, pour ne citer qu'un exemple classique, la longueur d'une barre est fonction de sa température. L'élude des fonctions de celto nature constitue le but principal de la Physique, dont les lois ne sont autres que les procédés de correspondance servant à les définir.

FONCTIONS d'une VAIUABLE RÉKLLE. 6"

découvinr la fonction qtii représente la marche fl'un phénomène. x\yant construit la courbe, ils cherchent ensuite une fonction aussi

ce

simple que possible, algébrique ou transcendante, qui soit représentée par cette courbe avec une approximation de Tordre des erreurs d'expérience et de graphique.

o8. Continuité. — Soit une fonction y = f(^x) définie dans l'intervalle («, h). Si A'o désigne une valeur de cet intervalle, on dit que la fonction est continue pour x = Xo si à tout nombre positif z choisi à l'avance, aussi petit qu'on veut, on peut faire correspondre un nombre positif r, tel c/ue r inégalité \x — XQ\'^r^ entraine la suivante

On dit aussi, dans ces conditions, que/(.Z') te/id ve/s f(x^), ou bien a pour limite f(xo), quand x tend vers Xq (')■

Il peut arriver qu'une fonction f{x) soit définie dans tout l'intervalle («, b), sauf pour unevaleurparticuliere.ro de cet intervalle (-). Mais s'il existe un nombre \ tel qu'à tout nombre t on puisse faire correspondre t\ de manière que l' inégalité | r — .r,, | •< •/], avec la restriction x ^ Xo, entraine la suivante

( ' ) Le lecteur n'est pas sans leinarquer l'analogie de cette définition avec celle de la convergence d'une suite infinie ( n° 37). La seule difTércnce est que l'inégalité n^ N est ici remplacée par \x — ^ul = '''<•

(-) Telle est, par exemple, la fonction » qui est défniii pour toutes les valeurs

de X sauf pour x — o. Sa vraie valeur est d'ailleurs i.

on dit encore que /(^) tend feîs \ lorsque x lend vers .ro, et cette limite A est appelée la ivraie valeur de la fonction pour x = Xq.

Si à tout nombre positif A on peut faire correspondre r^ tel que I .r — .Co I ■< ■'Il avec la restriction x ^ Xq, entraine / (^o > > A^ o/i dit que f{x) augmente indéfiniment, ou tend vers + oo, pour x = Xq, et Ton écrit symboliquement /'(^o) = + ^•

On définit de même le symbole f{xo) = — oo.

11 peut arriver aussi que f{x') tenfle vers -+- zc quand x tend vers x^ par valeurs supérieures (') (ou inférieures), et vers — ce quand x tend vers Xf^ par valeurs inférieures (ou supérieures). On écrit alors /(.r„4-o)=+oo [ou /(xo— o; =— x] et /(^o— o) =— oc [ou /(^o-^-o)= — oo].

S' il existe un nombre A tel qu'à tout nombre z on puisse faire correspondre X de manière que .r >> X entraîne \f{x) — ). | << t, otiditque f{x) tend vers \ pour x ^^-\- ^ et l'on écrit f(-^ cc>) = '/..

On définit de même /( — ce).

Si à tout nombre A o/i peut faire correspondre X de manière que ic >> X entraine f{x) >• A, on écrit fi-^ oc) = + oc.

On définit de même les syml)oles / ( + oc) == — oo, /( — ao)= + oo, y(a))=cc.

Une fonction est dite bornée supérieurement (ou inférieurement) dans un intervalle si les valeurs qu'elle prend pour les valeurs de x de cet intervalle sont toutes inférieures (ou supérieures) à un nombre fixe.

bLlIe reste finie pour x = Xn s'il existe deux nombres positifs A et r, tels que | Jc — ^o | ■< ^i entraine | f{x) \ < A.

o9. (J/ie fonction est dite continue dans [intervalle («, b) si elle est continue j)our chacune des videurs de cet intervalle.

TnÉonÈME 1. — Pour </u' une fonction f[x) soit continue dans un intervalle (a, ^), il faut et suffit qu'à tout nombre positif t on puisse faire correspondre un nombre y, tel que Cinégcdité \x^ — x^\<Z h entraine la suivante

\f{x,)-f{x,)\<t, (juels que soient Xi et .r ^ choisis dans l intervalle Ça, b). (') L'inégalité \x — x^\ -^r, doit alors élre remplacée par o <j; — .r^|<T,.

FONCTtONS d'une VARIABLE RÉliLLE. 69

Celte condition est évidemment suffisante. Mais il est assez difficile de démontrer rigoureusement qu'elle est nécessaire, bien que cela paraisse intuitif. Nous admettrons cette démonstration ( ' ).

Théoiîème II. — La fonction J\x) étant supposée continue dans Vintervalle (a, 6), si le produit f {a). f[b) est négatifs ht fonction s^ annule au moins une fois dans cet intervalle.

C'est ce que montre d'une façon claire la courbe représentative { fifi'. lo), car celle-ci est constituée par un trait continu joignant deux points A et B situés de part et d'autre de Ox et rencontre

nécessairement cette droite. Il ne faudrait pas néanmoins regarder ceci comme une démonstration rigoureuse, car la courbe représentative d'une fonction, même continue, peut présenter des singularités tout à (ait inattendues et ne pas pouvoir être tracée sur le papier (-). La véritable démonstration doit, comme toutes les démonstrations d'Analyse, être purement abstraite et reposer sur la seule notion de nombre. ÎNous l'admettrons encore (*).

Corollaire. — Si une fonction f{x) est continue dans l'intervalle {a, b), elle atteint au moins une fois chacune des valeurs comprises entre f [a] et f{b).

Car, si A désigne une telle valeur, la fonction continue f{x) — A prend des valeurs de signes ditVérents pour x ^ a cl x ^= b el s'annule par conséquent dans l'intervalle.

(') Voir, par exemple, J. Tannery, Introduction, etc., n° l(j\!.

("-) C'est ainsi qu'il existe des exemples de fonction continue dans un inteivalle (a,b), n'admettant de dérivée ponr aucune valeur de cet intervalle et dont la courbe représentative ne possède par suite de tangente en aucun de ses points.

(■') Voir J. Tannery, toc. cit., n" KiG.

Géomélriquement, cela veut dire que l'arc AB est rencontré au moins une fois par toute parallèle à Dépassant enlve \ et B (Jîg. lo).

Théorème III. — Si une fonction f(^x) est continue dans P intervalle (a, b), elle atteint^ dans cet intervalle, une limite supérieure M et une limite inférieure m.

Cela veut dire que sur l'arc \B ( fis', i i)' '^ ^ ^ ^^" point M plus haut que tous les autres et un point m plus bas que tous les autres. Nous admettrons toujours la démonstration abstraite ( ').

Les nombres M et m sont appelées maximum et minimum absolus (-) ; leur difFéreuce M — m est f oscillation de la fonction dans l'intervalle (a, b).

Théorème IV . — Etant donnée une fonction f(.x) continue dans l'intervalle (a, b), à tout nombre positif t, on peut faire correspondre un nombre tj tel que l'oscillation de la fonction soit moindre que t dans tout intervalle plus petit que y] et intérieur

Cela résulte du théorème I.