Calculer «„ sachant qu'on a

(II) KnUji-t = «> ''0 = !•

SLK LES RELATIONS DE RECURKENCE. 21 J

ï. làanl donnée la relation de récurrence

OÙ P,'j i désigne la dérivée de P„i par rapport à x, montrer que, si l'on suppose Pq = i , P„ est un polynôme de degré n en x. Calculer son terme de plus haut degré et son terme constant. iMontrer qu'il a toutes ses racines réelles et distinctes.

[Pour prouver que P^ est un polynôme de degré n, raisonner par induction. Pour prouver qu'il a toutes ses racines réelles et distinctes, substituer dans P„ les racines de P„ ,, supposées réelles et distinctes, en y ajoutant — oc et + ce. En tenant compte de (i) et du théorème de Rolle, on n'obtient que des variations.]