Chercher si l'équation

dy

(i) 2a?-7— = jK^ — ix''-y -^ x'* ^ !\X'- — I

admet pour intégrale particulière un polynôme et l'intégrer dans ce cas.

Soit in le degré du polynôme. Le premier membre est de degré ni. Le degré du second membre est le plus grand des trois nombres 2/?i, m -\- 2 et 4, si toutefois il n'y a pas de réductions. Si m >• 2, celles-ci ne sont pas possibles, car im est supérieur à m + 2 et l\. Le second membre est de degré supérieur au degré du premier; l'identité est impossible. Pour m ^=- 2, les trois nombres 2 w, m -f- 2 et 4 sont égaux; il peut y avoir des réductions.

Posons donc

(2) y -— ax'^-^ hx -^ c^

et portons dans ( i)

■xx{-i.ax -^ h) = {ax"^ ^ b X -\- c f- — ix'^^a x- ^ b x -^ c) + x'* -^ \x'*- — \ .

Identifions, l^^^n annulant le coefficient de x'* , nous avons d'abord

a'^ — 2a -H I = o; d'où

Le terme en x^ disparaît alors identiquement. Vax égalant les coefficients de .r-, nous trouvons ensuite h := o. Le terme en x disparaît. Mn annulant enfin le terme constant, nous obtenons c-=z i; d'où c =: ± i . Il y a donc deux polynômes répondant à la question ; ce sont

SLR l'Équation de hiccati. 217

L'équation (i) doit donc s'intégrer par une quadrature ( n° 323). Eflectivement, faisons le changement de variable

(4) r=ar-'^H--;

nous avons

(5) 'ixz'^= — iz — I.

Cette équation doit admettre l'intégrale parliculière

"'~ 7-2— (-z---^ ') ~ 2' ce qui se vérifie d'un coup d'œil. Nous aurons l'intégrale générale en

ajoutant à -3i=: l'intégrale générale de l'équation sans second

membre (n° 101, remarque IV). Celle-ci s'écrit

dz dx

z je

et donne

^ = — (G = const.).

L'intégrale générale de (5) est donc