DÉRIVÉES; VARIATION DES FONCTIONS

f)0. Dérivées. — Soit j' = y"(:r) une fonction définie dans l'intervalle (rt, b). Désignant par x et ;r„ deux valeurs de cet intervalle,

considérons le rapport -• Si nous regardons ^o comme

(') Cf. .]. Tannehy, toc. cit., n" 1(J1.

(-j On verra plus loin la différence avec les maxima cl niininta relatifs ( n" G3 )

FONCTIONS d'UNK VARIABLE RÉELLE. 71

fixe et X comme variable, ce rapport est une fonction de x définie dans l'intervalle (c/, 6), sauf pour x = Xq. T1 peut arriver néanmoins (n" 58) qu'elle possède une vraie valeur pour celte valeur de X (*), c'est-à-dire que le rapport en question ait une limite déterminée quand x tend vers Xç^. S'il en est ainsi, on dit que la jonction admet une dérivée pour x = .î:,, et cette dérivée est, par définition, la limite précédente, c'est-à-dire, en somme, la limite du rapport de raccroissement de la fonction à l'accroissement de la variable quand ce dernier tend vers zéro (-).

S'il existe une dérivée pour chaque valeur de l'intervalle («, b), cette dérivée constitue une fonction de x parfaitement déterminée dans cet intervalle; on l'appelle Xa fonction dérivée^ ou simplement la dérivée de f{x) et on la représeule indifféremment par l'une des

trois notations /' (.r), jk') -j- ('')•

Si la fonction f\x) admet elle-même une dérivée dans linlervalle (a, b), celle-ci est appelée la dérivée seconde de f{x) et se représente par/"(.r), y" ou -r^- De même, la dérivée de la dérivée seconde est dite dérivée troisième et s'écrit/'"(^), y'" ou -j^- De proche en

proche, on définit ainsi les dérivées d'ordres successifs, la déri-

cli' y vée jf^'"" (ou d'ordre p) se représentant par /'/'^ (jc), y'^P^ ou -j^ •

Interprétation géométrique de la dérivée. — Reprenons la définition de la dérivée de la fonction f{x) et interprétons-la sur la courbe représentative. Aux valeurs .^o et x de la variable indépen-

(•) Ceci n'est possible toutefois que si/(^) lend vers/(j;„) ([uand ^ tend vers ^r». Donc, une fonction ne peut admettre de dérivée qu'autant quelle est continue. Mais' cette condition nécessaire n'est pas suffisante; par exemple, la fonction jk = ^ sin - est continue pour :r = o (si l'on convient de lui donner la valeur o pour celte valeur de^); mais elle n'a pas de dérivée, car le rapport- = sin - oscille indrliniment

entre H- i et — i quand x tend vers zéro.

( = ) Il nous arrivera souvent, dans la suite, de désigner ces accroissements par \y et A^. D'une façon générale, l'accroissement d'une quantité quelconque se représente par la lettre A (ou 5) suivie de celle (jui représente la valeur à partir de laquelle on prend l'accroissement.

(^) Jusqu'à nouvel ordre, le symbole -j- doit être considéré comme formant un tout inséparable et non pas une fraction.

danle correspondent sur cette courbe deux points INIo et M (/?,4'". «a).

Le rapport:^ — — — est, comme on sait, éi;al au coefficient cin-

gulaire on pente de la droite M,, M. Si maintenant x tend vers x^.

Fis. 12.

M tend, sur la courbe, vers Mo ; s'il y a une dérivée, et dans ce cas seulement, la sécante MqM tend vers une position limite déterminée, de coefficient angulairey'(a?o), qui est, par définition, la tangente eniMo à la courbe. Donc, dire rju' une fonction admet une dérivée pour x^Xq éciuivaut à dire rjue sa courbe représentative admet une tangente au point iNIo (') ; l(^i dérivée mesure le coefficient angulaire de cette tangente, ou, comme on dit encore, la pente de la courbe en JMq.

61. Théorème de RoUe; formule des accroissements finis. — De la définition de la dérivée résulte immédiatement le théorème suivant, connu sous le nom de théorème de Bolle, et qui a une certaine importance par les conséquences que nous en tirerons dans la suite :

Théouème (de Rolle). — Soit une fonction f{x) définie et continue dans V intervalle [a, b) et admettant^ dans tout cet inter-

(') Pour que ceci soil complètement exact, il faut toutefois convenir de l'existence

At de la dérivée dans le cas où le rapport ^— augmente indéfiniment en valeur absolue;

on dira alors que la dérivée est infinie: la tangente sera parallèle à Ojk- I-es choses se

Ar passent dune tout autre iiKinière lors(|ue le rapport — oscille constariiinent entre

certaines limites; la sécante .M,, M pivote iiidérinimenl autour de IVI,, dans uti sens ou

dans l'autre. I^ar exemple, jjour la fonction j' = a; sin — menlionnée plus haut, la

sécante O.M ne cesse de balayer ranf;lc des bissectrices des axes (jui cmiiprend 0,r quand M tend vers O.

FONCTIONS d'une VARIABLE RÉELLE. 73

valle, une dérivée finie et. bien déterminée. Si Von a f{ci) = ,/'(^), la dérivée s^ annule au moins une fois dans l'intervalle (a, b).

Géométriquement ^ cela veut dire que sur l'arc AH i fig. i3), il }' a au moins un point M où la tangente est parallèle à ():c, ou, ce qui revient au même, à la corde AB. Or, cette propriété est évidente

Fis. i3.

sur le premier cas de ligure; mais elle est manifestement fausse dans les trois autres. Ceci ne doit pas nous étonner, car la fonction représentée par la première courbe est la seule à satisfaire exactement à toutes les conditions du théorème. La seconde est en elTet discontinue pour a? = ^, car pour cette valeur elle est égale à l'ordonnée y"(Z>) du point B, tandis qu'elle tend vers/(6) + BP quand x tend vers b. Pour la troisième, c'est la dérivée qui devient infinie au point P, où la tangente est parallèle à Oy. Pour la quatrième, la dérivée cesse d'être déterminée au point P. Il j a en effet deux tangentes en ce point ; donc le rapport -^ n'a pas la même limite suivant

que Ax tend vers zéro par valeurs positives ou par valeurs négatives (' ).

Ceci nous montre la nécessité d'une démonstration analytique rigoureuse^ laquelle est d'ailleurs très simple.

Si la fonction ne garde pas la même valeur dans tout l'intervalle (a, b)^ auquel cas la dérivée est évidemment constamment nulle, elle doit prendre soit des valeurs plus grandes, soit des valeurs plus petites que /{aj=^ /(b). Supposons, par exemple, (pi'elle prenne des valeurs plus grandes (-). Soit alors c la valeur |)()ur laquelle, en

(') On dit quelquefois (iii"il y a une dérivée à droite et une déri^'ée à gauclie; ce sont respectivement les limites de -;— lorsque \x tend vers -t- o et vers — o. Le point r^ est dit point anguleux. Cette particularité ne peut se présenter que pour des fonctions transcendantes.

(-) Cela ne l'empêche d'ailleurs pas de prendre, le cas échéant, des valeurs plus petites.

vertu du théorème 111 du n° o9, la fonction atteint son maximum ('). Je dis que/' (c) = o. En effet, d'abord c est nécessairement compris entre a et h. puisque la fonction prend, par hypothèse, des valeurs plus grandes que /(a) i^ f(^h). Soit alors r^ un nombre positif tel que c — /, et c -i- •/"! soient tous deux dans l'intervalle (a, b). Si l'on suppose I /i I <C 'fi, on a, quel que soit le signe de h,

Le rapport =^- -. ■ est uonc de signe contraire a h. IJ autre

part, quelle que soit la manière dont }i tend vers zéro, ce rapport

tend vers une limite bien déterminée f'(c). Dès lors, si l'on imagine

, j fie ^ h) — fie) . que II tende vers + o, comme = j ■ demeure constamment

négatif ou nul, on a nécessairement /"'(c) ^ o. Si, au contraire, h tend vers — o, on en conclut que /'(c)^o. Ces deux conclusions ne sont compatibles que si /' (c) = o. c. q. ?". d.

62. Formule des accroissements finis. — So/'t une fonction /(a:) définie et continue dans l'intervalle (a, a-\-h) et admettant, dans tout cet intervalle^ une dérivée finie et bien déterminée . On a

0 désignant un certain nombre compris entre o et i.

Telle est la formule des accroissements finis.

Géométriquement, elle se ramène immédiatement au théorème de Rolle. Elle s'écrit, en effet,

fia ^ h) ~ fia)

; ■ — = f ia -^- f) h^.

Or, le premier membre n'est autre que le coefficient angulaire de la droite AB ( flg. i4)j et alors la formule signifie simplement (pie sur l'arc AB il y a au moins un point M, où la tangente est parallèle à AB, ce qui équivaut bien au théorème de Rolle.

On se ramène d'ailleurs analvtiquement à ce théorème par la

(') On peut rcniarquer que ce thcorènic est en défaut dans le deuxième cas de la figure iJ. La limite supérieure y (Z* ) H- Bl* n'est pas atteinte par la fonction dans rintervalle ( «, b ).

FONCTIONS D UNE VARIABLE REELLE

considération de la fonction Y ^ PM . Si m désigne, pour abréger,

, . fia ---h-)- fia)

le rapjDorl :— '— — > on a

Y = q}Â — q? = y — mx = fix) — mx = g{x).

Ov g(a) = g(b); c'est évident sur la figure et la vérification analytique est immédiate. D'autre part, la fonction g'{x) satisfait à toutes

Vis. i'|.

les conditions du théorème de Rolle. Donc g''{x) s'annule pour au moins une valeur c de l'intervalle (a, a + /i). Gomme g'{x) = f'(x) — m (n° 67), on a /' (c) = ni. Si l'on remarque enfin que tout nombre c compris entre a et a-^ h peut se mettre sous la forme a + 6A, f) étant compris entre o et i, on voit que la formule est établie rigoureusement.

63. Variation des fonctions. — Une application très importante et immédiate de la théorie des dérivées consiste en l'étude de la variation des fondions.

Étant donnée une fonction y :=J\x) définie dans l'intervalle (r/, 6), étudier ses variations, c'est imaginer que a: prenne, en croissant, toutes les valeurs possibles depuis a jusqu'à b et se rendre compte, aussi exactement qu'on le peut, des valeurs successives que prend y dans ces conditions. La manière la plus frappante d'arriver à ce résultat consiste d'ailleurs à construire la courbe l'eprésentative; c'est ce but que nous allons viser.

On dit que la fonction f{x) est croissante., décroissante ou constante dans r intervalle (a, [i) suivant cju^on a

fix") -fix')

f{x")-fix')

<o, fix'')—f(x') = o,

en appelant x' et x" deux valeurs quelconques de V intervalle.

76 CIIAFMTRIÎ V.

Cela concorde bien avec la notion vulgaire qu'on possède de la croissance d'une quantité, car, dans le premier cas par exemple, si x prend des valeurs de plus en plus grandes, il en est évidemment de même de f{x).

La fonction f{x) étant supposée définie dans l'inlervalle («, 6), soit Xo une valeur intérieure à cet intervalle. On dit que ta fonction est croissante^ décroissante^ maximum ou minimum pour x = x^^ si Von peut déterminer r\ tel que \x — ^0 1 <! >"( entraîne, suivant le cas, Vune des inégalités

> O' < "' /(^o)— /(■rj>o, f(x^)—f(x)<o.

Dans îe premier cas, ceci veut dire que la fonction prend, pour les valeurs de x voisines de x^, des valeurs supérieures ou inférieures ■A fi^Xsi) suivant que x est lui-même supérieur ou inférieur à ^o- Dans le deuxième cas, conclusion inverse.

Dans le troisième cas, f{x) est plus grand pour ^0 41'e pour les valeurs voisines (').Dans le quatrième cas, y (,r) est plus petit pour ^Tq que pour les valeurs voisines ( ' ).

64. Théorème I. — Si une fonction est constante dans un intervalle, elle y admet une dérivée constamment nulle.

C'est une conséquence manifeste de la définition de la dérivée.

Théorème H {^réciproque du précédent). — Si, dans un intervalle (a, ?j), la fonction f{x) admet une dérivée nulle, elle y est constante.

En effet, on a, en conservant les notations du numéro précédent et appliquant la formule des accroissemenis finis (-) (n" 62),

f(^") —fKx') = {x~x')f{x"'),

où x"' désigne un certain nombre compris entre x' et x" el, par suite,

(') Cela ne veut f)as dire qiie/(^„) soit nécessairement la plus i;runde ou la plus petite valeur que puisse prendre /( a;), quand x décrit l'intervalle {a, 6), contrairement à ce qui passait au théorème III du n° 59. C'est pourquoi le maximum et le minimum actuels sont appelés quelquefois maximum et minimum relatifs.

(^) On en a le droit, car/ (a;) est finie dans l'intervalle {x',x"), puisque nulle.

FONCTIONS d'une VARIABLE RÉELLE. 77

entre a et [51. Mais, f (^x'") est nul, il'îij)rès l'iiypothèse; donc aussi

Théorf::\ie III. — Si la fonction J\x) est croissante dans l intervalle (a, ,3), pour aucune valeur de cet intervalle elle ne peut ai-oir une dérivée négative et elle ne peut avoir une dérivée nulle que pour des valeurs séparées de x.

Soit Xq une valeur quelconque de l'intervalle. Le rapport

est positif, dès que Xq-\- h appartient à l'intervalle (a, [j). Comme cela finit toujours par arriver cpiand h tend vers zéro ( ' ), la limite de ce rapport, si elle existe, c'est-à-dire y '(.ro), ne peut être que ^o.

En second lieu, les valeurs qui annulent /"'(x) sont séparées, car si f'(x) était nulle dans tout un intervalle intérieur à (a, ,3), f{x) y serait constante (théorème II).

Théorème IV^ {^réciproque du précédent^ — Si^ dans l intervalle (a, [3), fi^x) admet une dérivée finie et positive, elle est croissante dans cet intervalle.

En eiret, si x' et x" sont deux valeurs quelconques de l'intervalle, le rapport /(-^^l -./; ■^') est p.jsitif, parce qu'il est égal à la valeur

de J'{x) pour une valeur intermédiaire (tliéorème des accroissements finis).

lîentarque importctnte. — Ce tliéorème repose sur la formule des accroissements finis. On ne peut donc en affirmer l'exactitude cpi'autant cpie les conditions requises pour cette formule sont remplies. Autrement dit, la fonction f{x) doit être finie et continue dans l'intervalle (a, [i) et y admettre une dérivée finie. C'est l)ien ce qui est supposé dans l'énoncé, car la seule existence de f'{x) entraine, comme on sait, la continuité de f{x) (note de la page -i).

Néanmoins, on peut étendre un peu la portée du théorème de la

(') Si x^ est à l'une des bornes de l'intervalle; p;ir exemple, si x^— a. il faut supposer /i>o. Mais, la limite étant indépendante ilu signe de li, la conclusion subsiste.

manière suivante : Pour que le théorème IV soit applicable, // suffit que f{x) soit finie et continue dans V intervalle (a, |ii) et qu^ elle y admette une dérivée finie et positive^ sauf peut-être pour des valeurs séparées de x.

En effet, si ^,, x^^ . . ., Xm sont ces valeurs séparées, dans chaque intervalle tel que (^r^,, :Cy,,., ), on se trouve dans les conditions restreintes de l'énoncé; donc j\x') croit. Mais, d'après la continuité dey^(^), la valeur de la fonction est la même à l'extrémité d'un intervalle partiel et au commencement de l'intervalle sui\ant. lien résulte, d'une manière évidente, que/(x) croît dans tout l'intervalle (a, ^) (').

Théoriîmes V et VI. - — Enoncés et démonstrations analogues pour une fonction décroissante.

65. Théorème VII. — Si une fonction est croissante pour x = Xç^ et admet une dérivée pour cette valeur^ cette dérivée est positive ou nulle.

Démonstration du théorème 1(1.

Théorème VIII. — Enoncé analogue |)our une fonction décroissante.

Théorème IX. — Si une fonction est maximum ou minimum pour X =^ Xo et admet une dérivée pour cette valeur, cette dérivée est nulle.

Même démonstration que pour le théorème de Kolle (n" 01).

Il y aurait lieu d'énoucer maintenant des réciproques de ces trois théorèmes. Mais, elles peuvent donner lieu à quelques complications et seront envisagées seulement au Chapitre IX (-n° d2i), à propos de l'étude d'une fonction au voisinage d'une valeur de la variable.

Nous ferons seulement observer ici que, dans la |)ratique, on reconncdt un maximum à ce que la dérivée change de signe en passant du signe -^ au signe — , lorstpie la variable indépendante traverse, en croissant, la valeur Xo correspondante. Pour un mini-

( ') Ceci pourrait èlre en défaut s'il y avait des discontinuités. Il pourrait arriver, par exemple, que /(a; — o) fût plus fjraiid (|U(; /(.r + o ). Les valeurs de /(a:) seraient alors plus grandes un peu avant x qu'un peu après. On trouvera des exemples de cette particularité dans les exercices correspondant à ce Chapitre.

FONCTIONS D V.NK VARIABLE REELLE. 79

minn, au contraire, la dériiée passe du signe — au signe -t-. Gela résulte en effet de» théorèmes du numéro précédent et de ce que, pour un maximum par exemple, la fonction cesse de croître pour décroître.

Si la dérivée existe pour x = x^, le changement de signe de f'{x) ne peut se faire qu'en passant par la valeur zéro, d'après le théorème IX. Mais, si la dérivée est infinie, /'(;r) peut passer brusquement de ± o) à zp co {Jîg. i3, troisième cas). S'il y a une dérivée à droite et une dérivée à gauche (page 78, note i), f'{x) peut passer brusquement d'une valeur finie positive (ou négative) à une valeur finie négative (ou positive).

66. Marche à suivre pour étudier les variations d'une fonction. — Elle résulte des théorèmes précédents :

1" On détermine L intervalle de variation de x. — Pour cela, on cherche les valeurs de x pour lesquelles la fonction a un sens, ce qui donne naissance à un ou plusieurs intervalles. On essaie ensuite, quand c'est possible, de réduire ce ou ces intervalles par des considérations de périodicité ou de symétrie.

La fonction f(x) est dite périodique et admet pour période /), si l'on a f[x-i-p)^/{x), quel que soit :r. Il est clair qu"// suffit de Véludier dans un intervalle quelconque de longueur p. Ayant construit l'arc de courbe correspondant, on aura toute la courbe par les ti^anslations ±p^ zb 2/>, ± 3/>, ..., suivant Ox.

La fonction est paire par rapport à x, si l'on a f{x)^f{ — x); elle est impaire, si f{x) ^ — /( — x). Dans le premier cas, la courbe représentative est symétrique par rapport à Oy; dans le second cas, par rapport à l'origine. Dans les deux cas, il suffit d^ étudier la fonction pour les valeurs positives de x; c'est ainsi qu'on se bornera à construire la portion correspondante de la courbe représentative; le reste de la courbe s'obtiendra ensuite par symétrie.

Au lieu de changer x en — x, on peut essaver d'autres changements simples, qui sautent généralement aux yeux par la simple inspection de f{x)j tels que x en A — x, ou x en —, etc. Si ces changements ne changent pas y ou ne font que changer son signe, on peut encore réduire l'intervalle de variation.

2" 0/1 ma/que. dans rinteivalle de variation et par ordre de

8o rHAPITUK V.

<:randeiir croissante, les valeurs qui rendent la fonetion in finie ou discontinue. — Ces valeurs sont, en général, faciles à apercevoir et, du moins pour les exemples que nous pourrons renconirer, elles sont toujours séparées.

3" Si le sens de variation de f(x) ne saute pas aux yeux, o/i prend la dérivée et Von étudie son si^ne. — Dans ce but, il est généralement nécessaire de résoudre léquation /'(.r ) = o ('). Mais il ne faut néanmoins pas perdre de vue que le signe seul de la déri^'ée importe; et si, par exemple, celle-ci se présente sous la forme du produit de plusieurs facteurs dont certains sont essentiellement positifs ou négatifs, on pourra faire abstraction de ces derniers (en marquant leur signe), quand bien même ils s'annuleraient ou deviendraient infinis pour certaines valeurs séparées de x (remarque du théorème IV , n" 6i); à moins (ju'on ne tienne à avoir tous les points de la courbe où la tangente est parallèle à Ox ou à Oj'.

Rappelons en outre qu'il peut airiver que la dérivée change de signe en devenant infime ou discontinue (remarcpie du théorème IX, n° 60).

Quoi qu'il en soit, on obtiendra, par cette étude, de nouvelles valeurs remarquables de jt, qu'on intercalera à leur tour dans l'intervalle de variation.

I" Dans chacun des intervalles partiels obtenus., la fonction est continue et sa dérivée garde un signe constant. En s'appuj'ant sur les théorèmes IV et VI, on indique le sens de variation, par les mots croit ou décroit., ou par les signes / ou \i .

5" On calcule les vialeurs de f(x) aux extréniités des intervalles. — On a maintenant construit le tableau des variations et cela suffirait à la rigueur pour répondre au but proposé. Néanmoins, il vaut mieux compléter cette étude j)ar la construction de la courbe représentative.

()' On construit les points reni((r(juables avec leurs tangentes. — Les points remar(|ual)les sont ceux (]iii corresponilent aux valeurs

(') \'oii\\i ce propos, te Cliapilie XXIl.

FONCTIONS DINE VARIABLE REELLE. Ol

remarquables de x inscrites dans le lableaii ('). Les tangentes sont données par la dérivée (n" 60).

■-" On joint les points remarquables par- un trait continu., en tenant compte des tangentes construites et s'aidant du tableau, qui indique à chaque instant si la courbe monte ou descend vers la droite ou vers la gauciie.