III. - OPÉRATIONS SUR LES FONCTIONS
07. Addition. — ■ THÉoiiiiME I. — La somme de plusieurs fonctions continues est une fonction continue., ou encore la limite cC une somme est la somme des limites de chacun de ses ternies.
La démonstration est identique à celle du théorème I du n" 38, avec cette seule différence que l'inégalité n^N doit être remplacée
par \x — a?o I ^•^.
Théorème IL — La dérivée cV une somme est la somme des dérivées de ses termes.
Soient, par exemple, les trois fonctions u, r, (v, qui, pour une certaine valeur de .r, admettent les dérivées «/, t', iv'. Vl'accroissement A.r correspondent les accroissements \u, At-, A(V', Ay ^ ^.u -\- \v -'r ^w .
Av \u \v Atv
Ix \x ^x Ax
Si A.r tend vers zéro, les termes du second membre tendent respecLivement, par hypothèse, vers u' , v' ., tr'. Donc, le second membre lui-même a, d'après le tbéorème précédent, une limite égale à
Corollaire. — Si deux fonctions diffèrent par une constante, elles ont mènie dérivée et réciprocjuement.
Car toute fonction constante a une dérivée nulle et réciproquement (n" 6i).
(') Parmi CCS points, il peuL y en avoir qui soient rejetcs à l"infini, c'esl-à-dire dont l'abscisse ou rordonnée, ou les deux coordonnées soient inliiiies. II convient alors de reclicrclier les asymptotes correspondantes, (]uesiion (|ui sera traitée au Tome II.
Haag. — Cours, I. 6
68. Multiplication. — Théorème 111. — Le produit de plusieurs fonctions co/ilinues est une fonction continue, ou encore la limite d'un produit est égale au produit des limites de ses facteurs (').
Même déniouslralion (|iie pour le lliéorème 11 du ii° 38.
THÉORi:ME IV. — Si les fonctions u et r admettent cJtacune une dérivée, leur produit y admet aussi une dérivée donnée par la formule
(2) y ^= II' V ^ uv' .
En conservant les mêmes nolalions que ])lus haut, on a
y -+- Aj' = ( u -+- Az/ ) ( (' -H Al' ) = iiv -H Am .('-+-» . Ar -4- lu . Ar ;
Ar
Ar A?/ ^
' -i- ?; 1 Ar.
Si ^x tend vers zéro, il en est de même de \u, Ar, Ar; de plus,
— el — tendent respectivement vers les limites finies u et r'; \x \x '
Av donc -^— lend vers u' v -\- uv' -\- u'.o = u' v + uv' . c. o. f. d.
Corollaire. — La fonction \f[x), oii \ désigne une constante, a pour dérivée ^f'{x).
Le théorème IV prend une forme plus simple si l'on introduit les dérivées logarithmiques. On appelle dérivée logaritJimique (-) de
la fonction y le cjuotient ^- Cela posé, si l'on divise les deux
membres de (2) par r= uv, on a
donc, la dérivée logarithmi(iue du produit de deux facteurs est la somme des dérivées logarithmiques de chacun de ceux-ci . Comme le produit di; n liicleurs //,, u^, •••. //// peut toujours
(') Lorsqu'un des facteurs tend vers zéro, pour x = x^, et que les autres facteurs restent finis ( n° 58), sans admettre nécessairement une limite, le produit lend encore vers zéro, comme le prouvera aisément le lecteur.
C'' ) Nous verrons plus loin l'origine de celle dénomiiialion ( n " 95).
FONCTIONS d'une VARIABLE REELLE. 83
s'écrire (if , u ^ • • • ffn~\) 'f/n on voit sans peine que ce ihéorènie s'étend par récurrence au produit d'un nomhre quelconque de fonctions; donc :
Théorème V. — La dérivée logarithmique cVun produit de plusieurs facteurs est la somme des dérivées logarithmiques de chacun de ceux-ci.
On en déduit la formule qui donne la dérivée du produit
y = ll^lt.2 . . . Un-
On a, en efl'et,
V U\ 11-2 lin
Multipliant par j' = Ui u^ . . . u^, il vient
(5) y = u\ «2 u^ .-. . Un -h Ui «2 "3 • • • lift -r-. . .-h Ui U> . . . Un~\U'„.
En particulier, si Uf ^= u-^^ . . .^ u-i^ «, on a la formule
(6) ("")' = nii"'^ii',
qui sera étendue plus tard au cas où n a une valeur quelconque (u° 94).
69. Formule de Leibniz. — ■ Revenons à la fonction y ^= uv et proposons-nous de calculer ses dérivées successives. L'application du théorème 11 nous donne successivement
y' = u'v + uv\ y" — it" i' + 2«V-J- Hc", y = «'"'■ + 3«"(''-l- 'iu'v"-+- uv".
11 n'est pas nécessaire d'aller [)lns loin pour remarquer l'apparition des coefficients de la formule du binôme (n" l2o). On peut induire la formule générale suivante
qui est déjà vraie pour /? = i , 2, 3. Pour la justifier en toute rigueur, la méthode de récurrence est tout indiquée. Formons donc j''""*"'^ en dérivant la formule (7) su[)posée exacte. Pour faire élégamment le calcul, nous remarquons que le second membre est une somme de produits de deux facteurs. Nous allons alors ap|)li(pier, pour chacun de ceux-ci, la formule (2); mais, nous écrirons sur une première ligne les termes obtenus en dérivant d'abord les premiers facteurs
[lerme ii' v de la formule (2)]; puis, sur une seconde ligne, les termes obleuus en dérivant les seconds facteurs [terme av' de la formule (2)]. De plus, comme ceux-ci sont, aux coefficients près, les mêmes que les précédents, nous écrirons l'un au-dessous de l'autre les termes analogues. ISous obtenons ainsi
-+- «i"V-+-...-i- C,';"' «<'«-/•'+'* p'/^'-t-... -h G/, ?iV^''' -+- «r('»+i'.
Réunissons les termes semblables, en nous rappelant la formule (12) du n" 21 :
c'est-à-dire la formule ('-), où l'on aurait remplacé n par n -\- i . (jclle-ci est donc générale. Elle porte le nom de fo/nmle de Leibniz. Pour la retenir facilement, on l'écrit sous la forme symbolique
(8) y'-'il ^i: ( u -i- i? )'-"'i (énoncez u -h v puissance symbolique n),
qui indique (pi'on doit déveIop])er (« -\- v)" parla formule du binôme, mais considérer ensuite, dans le résultat, tons les exposants comm des indices de dérivation, les termes extrêmes a" et c" étant en outre remplacés par u''"h' et ia'^"K
70. Division. — THÉ0Rt:ME VI. — Si une fonction y, continue pour X ^ .ro, ne s' annule pas pour cette valeur, la fonction — est également continue pour :r = ^c,,-
Même démonstration que pour le tliéorènie 111 du n'^ 38.
Si y s'annule, — tend vers ± 00 quand x tend vers x^.
Théorème \ 11. — Si u et v sont (leur fonctions continues pour
X = Xq^ la seconde ne s'annula/it pas, le quotient - est également
une fonction continue pour x = Xo, ou encore la limite d'une fraction dont le dénominateur ne tend pas vers zéro est égale au quotient des limites de ses termes.
Cela résulte des théorèmes III et VI.
TnÉoiîkME VI 11. — Si^ pour une certaine valeur de x, les fonc-
FONCTIONS n'CNE VARIABI.F RÉELLE. 8'
lions II et c admettent chacune une dérivée et si <" ^ o, le quotient y = — admet aussi une dérivée donnée par la formule
En effet, nous avons
M -+- \l( Il V \ll -
- u le
^ c + Ac (• ~ v{v^
